6. Основные характеристики движения жидкостей

43

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего тре­ния Т, для которой, согласно уравнению (11,11) с учетом (II, 12а), спра­ведливо выражение

, =

где ау — скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии г от оси; Р =

• 2лг1 — наружная поверхность цилиндра; ц — вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса г (при г — Я величина т_г — 0).

При установившемся движении разность сил давления —Р_ъ затра­чивается на преодоление силы трения Г, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рас­сматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности Р_х — Р ₂ и проектируется на ось, направление которой совпа­дает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно

Р_хлг^г — р₂лг² — ц/⁷ -^г~) — 0

или

(Р) — Р₂) я/-² = — \i2nrl

откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

Р±=-Р^г_Лг = -_Ли,г

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это диффе­ренциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от г до г — Я, а переменная скорость в правой части — от № — Ы}_г ДО IV — 0 (у стенки, где г — Я)-

|^а^Г-"'^{г =} -|^Лю'-

г ХЛЗ_Г

Тогда

2ц/ \ 2 2 /

или

(я²-'²) (^п-³⁰⁾

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где г = 0:

^_тах = ^ -.В- да ₍₁1,30а)

Сопоставляя выражения (11,30) и (II,30а), находим

/?² — г² / Г² \

^тг — ^тах ^2 “ ^а)тах у 1 ) (И, 31)

Уравнение (11,31) представляет собой закон Стокса, выражаю­щий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рас- смотрим элементарное кольцевое сечение (рис. П-9, б) с внутренним радиу- сом г и внешним радиусом (г + йг), площадь которого равна йБ = 2пгйг. Объемный расход жидкости через это сечение составляет

• и),2ягс1г

или с учетом уравнения (11,30)

dQ = ^p-^p-(R²-r²)2nrdr

Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу:

« - ^Рл^г-1 <*’ - '’> ²“^Л - (²”^й' I -^2п I - тр⁵*-

(11,32)

Подставляя вместо Я диаметр трубы с1 = 2Я и обозначая (р_х — р₂) = = Ар, окончательно находим

пй* Ар

128ц;

(I1,32а)

Уравнение (11,32) или (II,32а), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название урав­нения Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью т и максимальной скоротью да_тах можно получить, сопоставив значение <2 из уравнений (11,25) и (11,32):

откуда

<3 — и>Б= ттф и ■ ■ Р-^г- пЯ¹

о]Х/

<^и-³³>

Сравнивая уравнения (II,30а) и (11,33), находим

ю—^25- (11,34)

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жид­кости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (11,31), может быть представлен в виде

и*.-2ю(1--^-) (II,31 а)

Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпю­рами скоростей, полученными опытным путем (рис. П-10, а).

Некоторые характеристики турбулентного потока. В промышленной практике наиболее распространено турбулентное движение жидкостей.

При турбулентном движении из-за хаотического движения частиц про­исходит выравнивание скоростей в основной массе потока и их распределе­ние по сечению трубы характеризуется кривой, отличающейся по форме от параболы на рис. П-10, а; кривая имеет значительно более широкую вершину (рис. П-10, б).

Опыт показывает, что средняя скорость но при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а зна­чительно больше, причем в>/а>_тах = / (Ие). Например, при Ие = 10⁴ ско­рость но яа 0,8 ву_шах, а при Ке = 10⁸ величина гю «=< 0,9 а>_тах.