5. Передача тепла теплопроводностью
269
Складывая левые и правые части второго столбца этих уравнений, получим
£г(тг+тг+,"+'ё")=^ ~Рх
(^СТх ^СТг.) Ръ
откуда
(VI 1.14)
(=1
где і — порядковый номер слоя стеики; п — число слоев.
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через цилиндрическую стенку длиной Ь внутренним радиусом гв и наружным радиусом га (рис. УП-5).
Рис. УП-4. К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки.
Рнс. VI1-5. К выводу уравнений теплопроводности цилиндрической стенки.
Температуры на внутренней и внешней поверхностях стенки постоянны и равны и ^ст*
соответственно, т. е. процесс теплообмена установившийся. Поскольку эти поверхности не равны друг другу, уравнение (VI 1,13) в данном случае неприменимо. Пусть /ст, ;> 4т, и температур? изменяется только в радиальном направлении.
Для цилиндрической стенки поверхность ее в некотором сечении, отвечающем текущему радиусу г, составляет = 2л;/-£. Подставив значение В в уравнение Фурье (VI 1,8), находим для одномерного поля
ф = — Х2лг£т
аь
В данном случае Л = гя — гв и вместо йо можно подставить аг. Тогд:
(2 = — Х2лгЬт
йг
или, разделяя переменные
270 Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре J4- 2яіт dt 2kLt (VII,15) Q — ■ 2ЛІТ (JcTi — *ст2) (VII,15а) порядковый номер СЛОЯ СТЄИЮ'. 1 Xi 2,3 Ig at+1 di Интегрируем это уравнение в пределах от гв до гн и соответственно — от tCTl до /СТг:откудаили, учитывая, что гн/гв = dJdB, получим ^CTj ^СТ2)Q =где dH/dB — отношение наружного диаметра цилиндрической стенки к ее внутреннему диаметру.Уравнение (VII, 15) показывает, что по толщине цилиндрической стенки температура изменяется по криволинейному (логарифмическому) закону. Это уравнение представляет собой уравнение теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена.По аналогии с выводом, приведенным для однослойной стенки, для цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, количество тепла, передаваемое путем теплопроводности, составляетУравнения (VII, 13) и (VII,15а) для плоской и цилиндрической стенок были получены для стационарного (установившегося) процесса распространения тепла теплопроводностью. Для тонких цилиндрических стенок (тонкостенных труб) расчет может быть упрощен.