logo
КАСАТКИН

5. Передача тепла теплопроводностью

265

Величина X, характеризующая способность тела проводить тепло путем теплопроводности, зависит от природы вещества, его структуры, темпера- туры и некоторых других факторов.

При обычных температурах и давлениях лучшими проводниками тепла являются металлы и худшими— газы. Так, ориентировочные зна- чения л [в вт!(м-граО) и ккал/(мч■ град) ] для металлов при О °G состав- ляют: для чистой меди — 394 (340); для углеродистой стали Ст.З — 52 (45); для легированной стали Х18Н9Т — 25,5 (22).

Для воздуха при 0 °С X 0,027 вт!(м-град) или 0,023 ккал!(м-ч-град). Примерные значения Xвт!(м-град) и в ккал!{м-ч-град)] для жидко- стей, газов и теплоизоляционных материалов приведены ниже:

Капельные жидкости .... 0,1—0,7 (0,09—0,6)

Газы 0,006—0,165 (0,005—0,15)

Теплоизоляционные материалы 0,006—0,175 (0,005—0,16)

Низкая теплопроводность теплоизоляционных и многих строительных материалов объясняется тем, что они имеют пористую структуру, причем в их ячейках заключен воздух, плохо проводящий тепло. Коэффициенты

теплопроводности газов возрастают с по- вышением температуры и незначительно изменяются с изменением давления. Для большинства жидкостей значения X, на- оборот, уменьшаются при увеличении температуры. Исключение составляет во- да, коэффициент теплопроводности кото- рой несколько возрастает с повышением температуры до 130 °С и при дальнейшем ее увеличении начинает снижаться. Для большинства металлов коэффициенты теп- лопроводности уменьшаются с возраста- нием температуры: Значения X резко снижаются при наличии в металлах при-

месей. рис_ VI1-2. К выводу дифферен- Следует отметить, что при определе- циального уравнения теплопровод- НИИ количества тепла, передаваемого че- ности. рез слой газа или капельной жидкости

вследствие теплопроводности, часто бывает необходимо учитывать влия­ние также конвекции и излучения, которые сопутствуют теплопровод­ности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Выделим в однород­ном и изотропном теле элементарный параллелепипед объемом dV.с реб­рами dx, dy, dz (рис. VI1-2). Физические свойства тела— плотность р, теплоемкость с и теплопроводность X — одинаковы во всех точках парал­лелепипеда и не изменяются во времени. Температура на левой грани

dy dx равна t, на противоположной грани t + ~- dx.

Количество тепла, входящего в параллелепипед через его грани за промежуток времени dx:

по оси х через грань dy dz

Qx — —X ^ dy dz dx по оси у через грань dx dz

dt

Qu = —Я dx dz dx, y dy

по оси z через грань dx dy

Qt = —X -gj- dx dy dx

266

Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре

Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противополож­ные грани за тот же промежуток времени: по оси х

по оси у

%*йу (-—) йу йх йг л]

по оси г

Ог+йг = — X dx йу йх + X —- Лг <1х йу rfтj

Количество тепла, входящее через соответствующую грань параллеле­пипеда, не равно количеству тепла, выходящему через противоположную грань, так как часть тепла расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда.

Разность между количествами вошедшего в параллелепипед и вышед­шего из него тепла за промежуток временИи йх составит: по оси х

по оси у

дЧ

Л0.Х = Ох — Ох^х = X Ах йу йг йх

дЧ

йОу ~~ Од Оу+йу ~~ X а « ^ йх

по оси г

ду*

йОг =0г— Ог+йг = X йг йх йу йх

Полное приращение тепла в параллелепипеде за промежуток вре­мени йх:

й0^й0х + й0у + й0г^х[^2±+^+^.ухйуйг йх или, учитывая, что йх йу йг — йУ, получим

ИП _ 1 ( 94 . дЧ ,' т \ л,/ ^

0 V дх2 ^ ду* + дг2 )

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа Vа Следовательно

йО = Яуа/ йУ йх (А)

По закону сохранения энергии приращение количества тепла в парал­лелепипеде равно изменению энтальпии параллелепипеда, т. е.

й0 = йі ср йУ йх (Б)

ъь

причем йх представляет собой изменение температуры параллелепи­педа за промежуток времени йх. Приравниваем выражения (А) и (Б):

ср йУ йх = Х\>2( йУ йх дх

X

Обозначив ——■ — а и произведя сокращения, получим окончательно ср

вт

дж

м ■ град

сек -м-град

дж кг

дж кг

- кг-град м3 _

- кг-град м3 _

-Ї—і

I. сек J

Коэффициент температуропроводности а характеризует тепло- инерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициен- том температуропроводности.

При установившемся процессе передачи тепла теп- лопроводностью -^г — 0 (температура не изменяется

со временем) и уравнение (VII, 10) в этом случае при- нимает вид

ауЧ = 0 (VII,10а)

а не может быть равна нулю и,

Однако величина следовательно

= о

или

дЧ

дх'1

+

дЧ

ду*

+

дЧ

дгг

= 0

(VII,11)

Рис. VI1-3. К вы­воду уравнения теплопроводности плоской стенки.

Уравнение (VII,! 1) является дифференциаль­ным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при устано­вившемся тепловом режиме.

Уравнения (VII, 10) и (V 11,11) описывают распределение температур при передаче тепла теплопроводностью в самом общем виде, без учета, в частности, формы тела, через которое проводится тепло. Для конкрет­ных условий эти уравнения должны быть дополнены граничными усло­виями, характеризующими геометрические факторы.

Уравнение теплопроводности плоской стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую стенку (рис. УП-З), длина и ширина которой несравненно больше ее толщины; ось х расположена по нормали к поверхности стенки.

Температуры наружных поверхностей стенки равны 4т, и 4та, причем (ст, *> ^ст2. При установившемся процессе количества тепла, подведен­ного к стенке и отведенного от нее, должны быть равны между собой и не должны изменяться во времени.

Примем, что температура изменяется только в направлении оси х,

т. е. температурное поле одномерное = 0 и ~~ = 0^. Тогда

на основании уравнения теплопроводности (V 11,11) имеем:

аЧ

СІХ*

= 0

(VI 1,11а)

Интегрирование этого уравнения приводит к функции

t = c^x + ci (VII,12)

где и С$ — константы интегрирования.

Уравнение (VI 1,12) показывает, что по толщине плоской стенки тем­пература изменяется прямолинейно.

268

Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре

Константы интегрирования определяют исходя из следующих гранич­ных условий:

при х = О величина / = 4т, и из уравнения (VI 1,12)

при х6 величина ^ = 4т2 и уравнение (VII,12) принимает вид

^ст2 = “Ь

или

откуда

(СТг — С^б +

?СГп 4

^ _ ‘ст2 — ‘СТ! б

Подставив значения констант С1 и С2 в уравнение (VI 1,12), находим

'сто 4т]

£ ^"Ь'СТ!

Тогда

2 4т]

Лс б

Подставив полученное выражение температурного градиента в урав­нение теплопроводности (VII,8), определим количество переданного тепла:

арах

или

с = -у(4т1-4т2)^ (VII,13)

где К — коэффициент теплопроводности материала стеики; б — толщина стенки; (СТ1

  • ^ст2 — разность температур поверхностей стеикн; Р — поверхность стенки; т — время.

Для непрерывного процесса передачи тепла теплопроводностью при т = 1 уравнение (VI1,13) принимает вид

<г = -$-((сЧ-*ст2) Г (VII,13а)

Уравнения (VI 1,13) и (VII, 13а) являются уравнениями теп­лопроводности плоской стенки при установив­шемся процессе теплообмена.

Если плоская стенка состоит из п слоев, отличающихся друг от друга. теплопроводностью и толщиной (рис. VI1-4), то при установившемся про­цессе через каждый слой стенки пройдет одно и то же количество тепла, которое может быть выражено для различных слоев уравнениями:

О = (^СТ] _ (а) Рс или 0 = (*СТ1 — га) Рг

*) Щ

<2 — 4- {(а — ‘Ь) ИЛИ (3 = (*а /я) Рт

02 Лз

Я=---^((п-1ст2)Г* или (3 А.в(/в_/„в

Yandex.RTB R-A-252273-3

Yandex.RTB R-A-252273-4