5. Передача тепла теплопроводностью
265
Величина X, характеризующая способность тела проводить тепло путем теплопроводности, зависит от природы вещества, его структуры, темпера- туры и некоторых других факторов.
При обычных температурах и давлениях лучшими проводниками тепла являются металлы и худшими— газы. Так, ориентировочные зна- чения л [в вт!(м-граО) и ккал/(м• ч■ град) ] для металлов при О °G состав- ляют: для чистой меди — 394 (340); для углеродистой стали Ст.З — 52 (45); для легированной стали Х18Н9Т — 25,5 (22).
Для воздуха при 0 °С X 0,027 вт!(м-град) или 0,023 ккал!(м-ч-град). Примерные значения X [в вт!(м-град) и в ккал!{м-ч-град)] для жидко- стей, газов и теплоизоляционных материалов приведены ниже:
Капельные жидкости .... 0,1—0,7 (0,09—0,6)
Газы 0,006—0,165 (0,005—0,15)
Теплоизоляционные материалы 0,006—0,175 (0,005—0,16)
Низкая теплопроводность теплоизоляционных и многих строительных материалов объясняется тем, что они имеют пористую структуру, причем в их ячейках заключен воздух, плохо проводящий тепло. Коэффициенты
теплопроводности газов возрастают с по- вышением температуры и незначительно изменяются с изменением давления. Для большинства жидкостей значения X, на- оборот, уменьшаются при увеличении температуры. Исключение составляет во- да, коэффициент теплопроводности кото- рой несколько возрастает с повышением температуры до 130 °С и при дальнейшем ее увеличении начинает снижаться. Для большинства металлов коэффициенты теп- лопроводности уменьшаются с возраста- нием температуры: Значения X резко снижаются при наличии в металлах при-
месей. рис_ VI1-2. К выводу дифферен- Следует отметить, что при определе- циального уравнения теплопровод- НИИ количества тепла, передаваемого че- ности. рез слой газа или капельной жидкости
вследствие теплопроводности, часто бывает необходимо учитывать влияние также конвекции и излучения, которые сопутствуют теплопроводности.
Дифференциальное уравнение теплопроводности. Выделим в однородном и изотропном теле элементарный параллелепипед объемом dV.с ребрами dx, dy, dz (рис. VI1-2). Физические свойства тела— плотность р, теплоемкость с и теплопроводность X — одинаковы во всех точках параллелепипеда и не изменяются во времени. Температура на левой грани
dy dx равна t, на противоположной грани t + ~- dx.
Количество тепла, входящего в параллелепипед через его грани за промежуток времени dx:
по оси х через грань dy dz
Qx — —X ^ dy dz dx по оси у через грань dx dz
dt
Qu = —Я dx dz dx, y dy
по оси z через грань dx dy
Qt = —X -gj- dx dy dx
266 Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре дЧ Л0.Х = Ох — Ох^х = X дЧ йОу ~~ Од Оу+йу ~~ X а « ^ йх ду* ИП _ 1 ( 94 . дЧ ,' т \ л,/ ^ 0 V дх2 ^ ду* + дг2 ) йО = Яуа/ йУ йх (А) ъь ср X Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени: по оси хпо оси у%*йу (-—) йу йх йг л]по оси гОг+йг = — X dx йу йх + X —- Лг <1х йу rfтjКоличество тепла, входящее через соответствующую грань параллелепипеда, не равно количеству тепла, выходящему через противоположную грань, так как часть тепла расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда.Разность между количествами вошедшего в параллелепипед и вышедшего из него тепла за промежуток временИи йх составит: по оси хпо оси уАх йу йг йхпо оси гйОг =0г— Ог+йг = X йг йх йу йхПолное приращение тепла в параллелепипеде за промежуток времени йх:й0^й0х + й0у + й0г^х[^2±+^+^.ухйуйг йх или, учитывая, что йх йу йг — йУ, получимВыражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа Vа СледовательноПо закону сохранения энергии приращение количества тепла в параллелепипеде равно изменению энтальпии параллелепипеда, т. е.й0 = йі — ср йУ йх (Б)причем йх представляет собой изменение температуры параллелепипеда за промежуток времени йх. Приравниваем выражения (А) и (Б):йУ йх = Х\>2( йУ йх дхОбозначив ——■ — а и произведя сокращения, получим окончательно ср
вт |
| дж |
м ■ град |
| сек -м-град |
дж кг |
| дж кг |
- кг-град м3 _ |
| - кг-град м3 _ |
-Ї—і I. сек J ауЧ = 0 (VII,10а) а ?Ч (VII,11) Рис. VI1-3. К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки. СІХ* (VI 1,11а) где и С$ — константы интегрирования. Коэффициент температуропроводности а характеризует тепло- инерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициен- том температуропроводности.При установившемся процессе передачи тепла теп- лопроводностью -^г — 0 (температура не изменяетсясо временем) и уравнение (VII, 10) в этом случае при- нимает вид не может быть равна нулю и,Однако величина следовательно = оилидЧдх'1+дЧду*+дЧдгг= 0Уравнение (VII,! 1) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.Уравнения (VII, 10) и (V 11,11) описывают распределение температур при передаче тепла теплопроводностью в самом общем виде, без учета, в частности, формы тела, через которое проводится тепло. Для конкретных условий эти уравнения должны быть дополнены граничными условиями, характеризующими геометрические факторы.Уравнение теплопроводности плоской стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую стенку (рис. УП-З), длина и ширина которой несравненно больше ее толщины; ось х расположена по нормали к поверхности стенки.Температуры наружных поверхностей стенки равны 4т, и 4та, причем (ст, *> ^ст2. При установившемся процессе количества тепла, подведенного к стенке и отведенного от нее, должны быть равны между собой и не должны изменяться во времени.Примем, что температура изменяется только в направлении оси х,т. е. температурное поле одномерное = 0 и ~~ = 0^. Тогдана основании уравнения теплопроводности (V 11,11) имеем:аЧ= 0Интегрирование этого уравнения приводит к функцииt = c^x + ci (VII,12)Уравнение (VI 1,12) показывает, что по толщине плоской стенки температура изменяется прямолинейно.
268 Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре (СТг ?СГп £ ^"Ь'СТ! <Н 4т2 4т] Лс б арах с = -у(4т1-4т2)^ (VII,13) где К — коэффициент теплопроводности материала стеики; б — толщина стенки; (СТ1 — ^ст2 — разность температур поверхностей стеикн; Р — поверхность стенки; т — время. О = (^СТ] _ (а) Рс или 0 = (*СТ1 — га) Рг <2 — 4- {(а — ‘Ь) ИЛИ (3 = (*а — /я) Рт 02 Я=---^((п-1ст2)Г* или (3 А.в(/в_/„в)ЛКонстанты интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:при х = О величина / = 4т, и из уравнения (VI 1,12)при х — 6 величина ^ = 4т2 и уравнение (VII,12) принимает вид^ст2 = “Ьилиоткуда — С^б + 4^ _ ‘ст2 — ‘СТ! бПодставив значения констант С1 и С2 в уравнение (VI 1,12), находим'сто 4т]ТогдаПодставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (VII,8), определим количество переданного тепла:или
Для непрерывного процесса передачи тепла теплопроводностью при т = 1 уравнение (VI1,13) принимает вид<г = -$-((сЧ-*ст2) Г (VII,13а)Уравнения (VI 1,13) и (VII, 13а) являются уравнениями теплопроводности плоской стенки при установившемся процессе теплообмена.Если плоская стенка состоит из п слоев, отличающихся друг от друга. теплопроводностью и толщиной (рис. VI1-4), то при установившемся процессе через каждый слой стенки пройдет одно и то же количество тепла, которое может быть выражено для различных слоев уравнениями:*) Щ Лз
Yandex.RTB R-A-252273-3