КАСАТКИН

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом (IV с ребрами йх, йу и йг, расположенными парал- лельно осям координат х, у и г (рис. II-2). Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы йт на ускорение

свободного падения т. е. равна цИт. Сила гидростатического давления на лю- бую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани. Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат: р — / (*, у, г). Выясне- ние вида этой функции, т, е. закона распределения гидростатического давле- ния по объему жидкости, и является на- шей задачей.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.

Рис. 11-2. К выводу дифференцн- ^в Противном случае происходило бы альных уравнений равновесия перемещение жидкости.

Эйлера. Рассмотрим сумму проекций сил на

ось г. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси г. Поэтому при выбранном положительном направлении оси г (см. рис, П-2) сила тяжести будет проектироваться на эту ось со знаком минус:

gdm = — gpdV = — №<1х<1у Аг

Сила гидростатического давления действует на нижнюю грайь параллелепипеда по нормали к ней, и ее проекция на ось г равна рйхйу. Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси г

равно —, то по всей длине ребра йг оно составит-^ йг. Тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань равно ^р -\-^йг^ и проекция силы гидростатического давления на ось г

-{р + -%Г<ь)*с<1у

Проекция равнодействующей силы давления на ось г рйхйу— (р + йхйу^ йг/1хЛу

Сумма проекций сил на ось г равна нулю, т, е.

—Р

gйxdydг йх йу йг =- 0 (11,14)

или, учитывая, что объем параллелепипеда йхйуйг = йУ ф 0 (величина, заведомо не равная нулю), получим

Yandex.RTB R-A-252273-3
Содержание
Yandex.RTB R-A-252273-4