Движение тел в жидкостях

* Амортизационные расходы получают делением общей стоимости сооружения трубо­провода (капитальных затрат) на предусмотренное число лет его работы.

При ламинарном движении, наблюдающемся при небольших скоростях и малых размерах тел или при высокой вязкости среды, тело окружено пограничным слоем жидкости и плавно обтекается потоком (рис. 11-29, а). Потеря энергии в таких условиях связана в основном лишь с преодоле­нием сопротивлений трения.

С развитием турбулентности потока (например, с увеличением скорости движения тела) все большую роль начинают играть силы инерции. Под действием этих сил пограничный слой отрывается от поверхности тела, что приводит к понижению давления за движущимся телом в непосред­ственной близости от него и к образованию беспорядочных местных зави­хрений в данном пространстве (рис. П-29, б). При этом разность давлений жидкости на переднюю (лобовую) поверхность тела, встречающую обте­кающий поток, и на его заднюю (кормовую) поверхность все больше превы­шает разность давлений, возникающую при ламинарном обтекании тела.

Начиная с некоторых значений критерия Рейнольдса, роль лобового сопротивления становится преобладающей, а сопротивлением трения можно практически пренебречь. В данном случае, как и при движении жидкости по трубам, наступает автомодельный (по отношению к критерию Рей­нольдса) режим.

Сила сопротивления /?(«) среда движущемуся в ней телу может быть выражена уравнением закона сопротивления:

где S — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его дви­жения, м²; w — скорость, м/сек⁴, р — плотность среды, кг/м³; £—коэффициент сопротивле­ния среды.

Отношение R/S представляет собой перепад давлений Ар (н/м²), пре­одолеваемый движущимся телом'. Поэтому, решив уравнение (II, 111) относительно £, можно установить, что коэффициент сопротивления t

пропорционален критерию Эйлера Eu = (Ç отличается от Eu лишь

множителем 2). Соответственно уравнения для расчета £ при различных гидродинамических режимах могут быть получены обработкой опытных данных в виде обобщенных зависимостей между критериями гидродина­мического подобия.

На рис. II-30 представлена зависимость £ от критерия Рейнольдса при движении шарообразных частиц диаметром d. Этот диаметр и является определяющим размером в критерии Re. Из графика видно, что сущест­вуют три различных режима движения, каждому из которых соответствует определенный характер зависимости £ от Re:

Рис. П-29. Движение твердого тела в жидкости:

а — ламинарный потоку б — тур­булентный поток.

Рис. 11-30. Зависимость £ от критерия Яе при движении тел шарообразной формы в жидкостях.

(И,111)

ламинарный режим (область действия закона Стокса) при­близительно при Не,<52

переходный режим при Re = 2—500

£=^01 (II,112а)

автомодельный режим (область действия квадратичного закона сопротивления Ньютона) при ~2-10⁵ >> Re > ~500

£ = 0,44 = const (11,1126)

Подстановка в уравнение (11,111) каждого из приведенных выше урав­нений для £ показывает, что при ламинарном режиме сила сопротивления пропорциональна скорости в первой степени, т. е. R ~ w, при переход­ном режиме R ~ си¹-⁴, а при автомодельном режиме R ~ w².

При движении тел, отличающихся по форме от шара, значения коэф­фициента сопротивления больше и зависят не только от Критерия Re, но и от фактора ф о р м ы Ф, т. е.

С — / (Re, Ф) (П.113)

Здесь

Ф = ф- (11,114)

г

где F_llI — поверхность шара, имеющего тот же объем, что и рассматривае­мое тело поверхностью /ч Например, для куба Ф = 0,806; для цилиндра высотой, в 10 раз превышающей его радиус, Ф = 0,69; для диска, высота которого в 10 раз меньше радиуса, Ф = 0,32. Значения Ф приводятся в справочниках.

Надо заметить, что на самом деле роль фактора формы не всегда может быть сведена лишь к соотношению поверхностей. Поэтому наиболее надежные данные о численных зна­чениях Ф для тел различной формы получаются экспериментально.

Для тел нешарообразной формы определяющим линейным размером в критерии Re служит диаметр эквивалентного шара й, равный диаметру шара, имеющего тя-ой же объем, что и данное тело. Если объем тела V, его масса т, а плотность р_т, то лначение й может быть най­дено из соотношения

.. т__ я с1~

р7~~6~

Осаждение частиц под действием силы тяжести. Рассмотрим движение тела в жидкости на примере осаждения твердой частицы в неподвижной среде под действием силы тяжести. Другой пример, связанный с анализом движения в жидкостях механических мешалок, приведен в главе VI.

Если частица массой т (и весом тц) начинает падать под действием силы собственного веса, то скорость ее движения первоначально возра­стает со временем. При полном отсутствии сопротивления среды ско­рость да менялась бы во времени по известному закону т — ^т. Однако с увеличением скорости будет расти, согласно уравнению (11,111), сопро­тивление движению частицы и соответственно »уменьшаться ее ускорение. В результате через короткий промежуток времени наступит равновесие: сила тяжести, под действием которой частица движется, станет равна силе сопротивления среды. Начиная с этого момента, ускорение движения будет равно нулю и частица станет двигаться равномерно — с постоянной

4. А. Г. Касаткин

Гл. //. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

скоростью. Скорость такого равномерного движения частицы в среде назы­вают скоростью осаждения и обозначают символом 12>_ос.

Сила, движущая шарообразную частицу диаметром й, выражается раз­ностью между ее весом и выталкивающей архимедовой силой, равной весу жидкости (среды) в объеме частицы:

я<*³ . .

• £(Рт — Р)

где р_т — плотность твердой частицы; р — плотность среды.

Сила сопротивления среды, в соответствии с уравнением (11,111)

Я—£ ₄ • ₂

Скорость осаждения ш₀с можно найти из условия равенства силы, дви­жущей частицу, и силы сопротивления среды:

яс/³£ пй² Р^Ш0С

-6^(Рт-Р) = С-4 2

откуда

Шос

■= у ----^^т_р~^Р)' (П,115)

Значение коэффициента сопротивления £ может быть определено по одной из зависимостей— (11,112), (11,112а) или (11,1126). При подстановке в уравнение (11,115) выражения (11,112) для ламинарной области находим формулу

_Шос= (И,116)

где (г — вязкость среды.

Это же уравнение можно получить и при использовании выражения закона Стокса, согласно которому сопротивление среды при осаждении в ней мелких частиц выражается зависимостью

Я = 4я йцаи_ос (11,117)

Приравниваем действующую силу силе сопротивления среды

яс1³

-уё (Рт — Р) = Зяйцшос

н, определив из этого выражения ш_ос, получаем уравнение (11,116).

Максимальный размер частиц, осаждение которых происходит по закону Стокса, можно найти, подставив в уравнение (11,116) вместо ско-

_ ц Не

рости осаждения ее выражение через критерии Рейнольдса 1&>_ос = и

приняв Ие = 2, т. е. — предельному значению Ие для ламинарной об­ласти. Тогда

^шах = •»/—■^36Ц* —-я»1,56 т/ £ (П.118)

У Р£(Рт —Р) У Р(Рт—Р)

Существует и минимальный размер частиц, ниже которого наблюдаются отклонения от закона Стокса. Нижний предел применимости закона Стокса соответствует Ке «=< 10~⁴. При Ке 10^-4 на скорость осаждения очень мелких частиц начинает влиять тепловое движение молекул среды. В таких условиях размеры й частиц становятся соизмеримыми со средней длиной л свободного пробега молекул среды. При этом скорость осаждения оказывается ниже рассчитанной по уравнению (11,116). Поэтому вели­чину -л'_ос, определенную по уравнению (11,116), следует разделить на поправочный коэффициент

X