13. Гидродинамическое подобия

8!

Из полученного уравнения обычно определяют величину Лр, входя­щую в критерий Ей. В частности, при движении жидкости через трубо­проводы и аппараты так находится потеря давления (напора).

Если движение жидкости является установившимся, то критерий гомохронности может быть исключен из уравнений (11,85) и (11,86). Следо­вательно, для установившегося движения обобщенное уравнение гидро­динамики имеет вид

где Г_ь Г₂, Г₃, ... —симплексы геометрического подобия.

Приближенное моделирование. Автомодельность. При моделировании многих процессов химической технологии не удается соблюсти полное подобие, т. е. равенство всех определяющих критериев подобия для натуры и модели, как этого требует третья теорема подобия.

Пусть, например, на модели изучается процесс, определяемый лишь двумя критериями — критериями Рейнольдса и Фруда. Для полного подобия процессов критерии Яе' и Рг' для натуры,должны быть соответ­ственно равны критериям Яе" и Рг" для модели, т. е.

где V = ц/р — кинематическая вязкость.

Примем, ЧТО ускорение СИЛЫ тяжести g =-СОП51 и рабочие жидкости в модели и натуре одинаковы, откуда V' = х". Тогда из выражений (А) и (Б) соответственно получаем следующие условия полного подобия:

Одновременное выполнение этих условий возможно лишь при Г = Г, т. е. если модель и натура имеют одинаковые размеры. Такое условие сводит на нет самую идею моделирования, и его реализация практически исключается.

Поэтому в модели, очевидно, целесообразно использовать другую жид­кость, отличную по величине кинематической вязкости от рабочей. В дан­ном случае (при g = const) из выражений (А) и (Б) следует:

Приравнивая правые части этих соотношений и проводя простые пре­образования, получим

Это означает, что если модель в /г раз меньше натуры, то в ней' надо проводить опыты с жидкостью, имеющей кинематическую вязкость в п^3}2 раза меньшую, чем у рабочей жидкости в натуре, что во многих случаях практически трудно осуществить. Так, если рабочей жидкостью в натуре является вода, а размер модели в 4 раза меньше размера натуры, то V жидкости в модели должна быть в 8 раз меньше, чем у воды.

При числе определяющих критериев больше двух выполнение усло­вий полного моделирования еще более затрудняется или вообще невоз­можно.

(П,85в)

или в более общей форме

Ей = Г (Fr, Re, Г\, Г₂, Г₃, . .).

(П,85г)

Re⁷ = Re" и Fr’ = Fr"

или в развернутом виде

w’l' of Г V ~~ v"

(А)

(w’f _ (W"Y g'l’ ~ g’l"

(Б)

I’ w" Г w'

I' _ (иі')^а Г ~ (au")^a

v'

v"

Гл. /1. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Однако при проведении моделирования часто можно удовлетвориться соблюдением не полного подобия, а лишь подобия тех факторов, которые наиболее значительно влияют на исследуемый процесс, т. е. осуществить приближенное моделирование.

Так, например, при турбулентном движении капельных жидкостей и газов, перемещаемых с помощью насосов и компрессорных машин, влия­ние собственного веса жидкости (силы тяжести) на распределение скоро­стей и перепад давлений очень мало. Поэтому условием равенства значе­ний критерия Фруда, отражающего влияние силы тяжести, при модели­ровании можно пренебречь и упростить уравнение (П,85в), представив его в виде

Еи = /^е,^-) (П,85д)

Если какой-либо параметр не влияет на протекание процесса, то про­цесс называют автомодельным по отношению к этому параметру. Поэтому указанное выше вынужденное турбулентное движение жидко­стей можно считать автомодельным по критерию Фруда.

Один и тот же критерий (в данном случае критерий Фруда), влияние которого в одних процессах можно не учитывать, в других процессах ока­зывает определяющее влияние на протекание процесса, например при перемещении жидкости под действием разности плотностей в различных точках ее объема.

Автомодельность может наступить при изменении условий протекания процесса. Типичным примером служит сопротивление сил трения движе­нию вязкой жидкости. Как показано в дальнейшем, при значениях кри­терия Рейнольдса ниже определенного предела оно зависит главным обра­зом от этого критерия и в малой степени—от шероховатости стенок трубы. Однако при увеличении Ие сверх некоторого критического значения фактором, определяющим сопротивление, становится именно шерохова­тость стенок трубы. Сопротивление перестает зависеть от Ие, т. е. процесс становится автомодельным по этому критерию (см. стр. 88).

В случае автомодельности по данному критерию показатель степени при нем в обобщенном уравнении типа уравнения (11,86) получается _хиз опыта равным или близким нулю.

Модифицированные и производные критерии подобия. Как следует из теории подобия, некоторые физические величины, входящие в крите­рии подобия, целесообразно заменять на другие, им пропорциональные. Так при описании процессов перемешивания, подставляя в Ие значение окружной скорости мешалки, исключают из выражения скорости постоян­ные множители, т. е. подставляют в Не произведение диаметра мешалки на число ее оборотов (см. главу VI). Получаемые при этом видоизмененные критерии называют модифицированными.

В ряде случаев оказывается затруднительным или даже практически невозможным определить или вычислить ту или иную физическую вели­чину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путем сочетания двух или большего числа критериев и получения слож­ных, или производных, критериев подобия, составленных из основ­ных. При этом исключенную величину обычно заменяют на другую, ей пропорциональную, опытное или расчетное определение которой является более простым.

Так, например, при естественной конвекции, возникающей под дей­ствием разности плотностей жидкости, обусловленной различием темпе­ратур в разных ее точках, очень трудно определить скорость конвектив­ных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому исключают скорость путем сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

Ке² и»²/²р²/ц² _ Рр²£

Рг гчР^,[ц1 |х²