9. Дифференциальные уравнения движения Навье—Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости эле- ментарный параллелепипед (рис. II-14) проявляется в возникновении на его

поверхности касательных напряжений т. Рас- смотрим первоначально относительно про- стой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в напра- влении оси х, когда проекция скорости хю_х зависит только от расстояния г до горизон- тальной плоскости отсчета.

В этих условиях касательные напряже- ния возникают лишь на поверхностях йР верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем <1Р = йхйу. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно т, то на верхней оно

составляет (т + йг^ . Производная -Щ-

выражает изменение касательного напря-

жения вдоль оси 2 в точках, лежащих на нижней грани параллелепи- педа, а йг представляет собой изменение этого напряжения вдоль

всей длины йг ребра параллелепипеда.

Указанные на рис. II-14 стрелками направления сил трения, прило-' женных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затор­маживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его (вспомним, что на стр. 26 мы услови­лись проводить нормаль к поверхностям соприкосновения перемещаю­щихся относительно друг друга слоев в направлении уменьшения их скорости).

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х гйхйу — (т + йг ) йхйу — йхйуйг

Подставив в это выражение значение касательного напряжения т по уравнению (II, 12а) {т = —у, где у — вязкость жидкости], получим

д

\ дг / ... д²сг>* ...

Р- ^ йхйуйг = ц йхйуйг

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости ы>_х будет изменяться не только в направлении г, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид