6. Основные характеристики движения жидкостей

39

Примером неустановившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия при переменном уровне ее в резервуаре- g пони­жением высоты столба жидкости в нем скорость истечения уменьшается ВО 'Времени.

Установившиеся условия движения жидкости характерны для непре­рывных процессов химической технологии. Неустановившееся движение жидкости происходит главным образом в периодических процессах или возникает кратковременно при пусках, остановках, а также изменениях режима работы аппаратов непрерывного действия.

Характеризуя различие между установившимся и неустановившимся движением жидкости частной производной по времени некоторого пара-

₍

dw, \

например, скорости -д~), мы рассматривали изменение

этого параметра в фиксированной точке пространства, имеющей постоян­ные координаты.

Для каждой частицы движущейся жидкости изменение ее параметров во времени и в пространстве выражается не частной, а полной производной по времени, называемой в гидродинамике субстанциональной производной. По своему смыслу эта производная может быть названа также производной, следующей.за пото­ком.

Обозначим через и любую величину, изменяющуюся в потоке как во времени, так и в пространстве, например плотность, температуру, давле­ние, концентрацию жидкости или любую из составляющих w_x, w_g и w_z ее скорости w в направлениях осей координат.

Допустим, что мы наблюдаем за движением потока и можем мгновенно регистрировать значения и в каждый момент времени в данной точке по­тока. Если наблюдатель неподвижен, то изменение и за единицу времени в фиксированной точке пространства (х, у, г) — const выражается частной

производной а изменение и в указанной точке за бесконечно малый промежуток времени dx составляет dx. Эта величина является мест-

н ы м, или локальным, изменением данной переменной, которое, как отмечалось, при установившемся движении равно нулю.

Если наблюдатель перемещается вместе с потоком (с какой-либо его частицей), то, измеряя значения и, можно установить, что изменение этой величины складывается из двух составляющих.

Пусть за время dx частица жидкости переместилась из точки А с коор­динатами х, у и г в точку В с координатами (х + dx), (у + dy) и (г + dz).

В результате перемещения частицы в пространстве из точки А в точку В изменения и, соответствующие проекциям пути dx, dy и dz, равны—- dx,

^-dy и ~~ dz. Эти изменения не связаны с изменением и во времени в ка-

кой-либо фиксированной точке пространства. Таким образом, если бы движение частицы было установившимся (локального изменения и не было бы), то при переходе из Л в В изменение и выражалось бы

, ди . , ди , , ди . du = dx + -т— dy 4- —з— dz дх ду ' дг

Это выражение характеризует конвективное изменение рас­сматриваемого параметра и.

Вследствие изменения и во времени в каждой точке пространства в усло­виях неустановившегося движения и — f (х, у, г, т), и за время dx зна­чение указанного параметра также изменится на ~ dx. Значит, полное

Гл. 11. Основы гидравлика. Общие вопросы прикладной гидравлики

изменение и при неустановившемся движении является суммой локального и конвективного измененийг

. ди . , ди . , ди , , ди .

йи = -з— йх 4—з— йх Н^— йу ₃— йг от > дх ду дг

откуда

Однако

йи _ ди ди йх ди йу ди йг йх дх дх йх ду йх дг йх

йх йу йг

да*, -гг = щ и -т- =

йх ^х' йх ~ У “ йх

где хя_х, н ха₂ — составляющие скорости вдоль соответствующих осей координат, на которые можно разложить скорость т.

Отсюда

йи ди , ди ди , ди _{п т} оя1

——— — —- —— ци —-— иу 1,^о)

йх дх дх ^х ' ду ^у дг

ГЛ ди Л

В частном случае установившегося процесса, когда = О

йи ди , ди , ди ,,, _00<Л

—- = о) + ——т_г (II,28а)

йх дх ^{х 1} ду ^{у 1} дг

Уравнения (11,28) и (II,28а) выражают субстанциональную производ­ную данного параметра. Использование специального термина для наиме­нования * полной производной сложной функции обусловлено тем, что

составляющие скорости по осям координат -д|- ^{и с} которой

перемещается наблюдатель, не произвольны, а принимаются равными со­ставляющим скорости частицы жидкости (ш*, хю_д и и»_г), так как наблюда­тель перемещается вместе с потоком.

Субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемеще­нии материальных частиц в пространстве. В частности, при движении частицы жидкости со скоростью ш конвективное и локальное изменения претерпевают все составляющие скорости вдоль осей координат (ю_х, и)_д и т_г). Выражения субстанциональной производной применительно к от­дельным составляющим скорости приведены ниже [см. уравнения (11,47)

и (II,47а)]. В этом случае производные и характеризуют

составляющие ускорения вдоль соответствующих осей координат.

■ _; Режимы движения жидкости. Различные режимы течения жидкости мои^но проследить, вводя з поток подкрашенную струйку жидкости или какой-либо иной индикатор.

Впервые режимы течения жидкости изучались О. Рейнольдсом в 1883 г. на установке, изображенной на рис. П-8. К сосуду 1, в котором поддер­живается постоянный уровень воды, присоединена горизонтальная стек­лянная труба 2. В эту трубу по ее оси через капиллярную трубку 3 вво­дится тонкая струйка окрашенной воды (индикатор). При небольшой скорости воды в трубе 2 окрашенная струйка вытягивается в горизонталь­ную нить, которая, не размываясь, достигает конца трубы (рис. П-8, а). Это свидетельствует о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

* Учитывая специфичность понятия о субстанциональной производной, ее иногда

, йи £)«

обозначают вместо —— символом -гг—.

3. x Их

Краска

Л

г

Рис. Н-8. Опыт Рейнольдса:

а — ламинарное движение; б «I турбулентное движение.

Яе =

(11.29)

Критерий Ие является мерой соотношения между силами вязкости и инерции в движущемся потоке (строгое обоснование вида этого критерия и его физического смысла дано ниже, стр. 79). В самом деле, вероятность нарушения ламинарного режима течения И возникновения хаотического перемещения частиц тем больше, чем меньше вязкость жидкости, препят- ствующая этому нарушению, и чем больше ее плотность, представляющая собой меру инерции отклонившихся от прямолинейного движения частиц. Поэтому при равных скоростях движения различных жидкостей в трубах одинакового диаметра турбулентность возникнет тем легче, чем больше р и меньше ц, или чем меньше кинематическая вязкость V = ц/р. Соответ- ственно критерий Рейнольдса может быть записан в виде

ах!

V

Яе = -

(II,29а)

Переход от ламинарного к турбулентному движению характеризуется критическим значением Ке_кр. Так, при движении жидкостей по прямым гладким трубам Ие_кр «=* 2320. При Яе <3 2320 течение обычно является ламинарным, поэтому данную область значений 1?е назы­вают областью устойчивого ламинарного режима течения. При Ие £>2320 чаще всего наблюдается турбулентный характер движе­ния. Однако при 2320 <3 Ке <3 10 000 режим течения еще неустой­чиво турбулентный (эту область изменения значений 1^е часто называют переходной). Хотя турбулентное движение при таких

уменьшается и при неизотермичности потока по сечению трубы из-за воз­никновения конвективных токов жидкости в направлении, перпендикуляр­ном к оси трубы.

Для газов плотность примерно на три, а вязкость на 1,5—2 порядка ниже, чем для ка­пельных жидкостей. Так, при нормальных- температурах Р_На0 <=« ЮОО кг/м³, Р_возд

1. 29 кг/м³, ц_На0 0,001 н-сек/м², Ц_В03Д *=» 0,00002 н-сек/м². Соответственно v_H20«=^ «и 1- 10”⁶, а у_возд я» 15- 10"⁶ м^г/сек. Поэтому Яе_кр и турбулентный режим движения для газов достигаются при значительно больших скоростях, чем для капельных жидкостей (при равных е1).

В случае движения жидкости через каналы некруглого сечения при расчете критерия Ке вместо й использ'уют эквивалентный диаметр, опре­деляемый отношением (II,27а).

В выражение для критерия Рейнольдса входит средняя скорость потока, характеризуемая уравнением (11,25). Действительные же скорости жидкости неодинаковы в разных точках сечения трубопровода. При этом распределение указанных скоростей по сечению потока различно для лами­нарного и турбулентного движения. Для ламинарного потока вид распре­деления скоростей может быть установлен теоретически.

Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке. В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных'с трубой (рис. П-9, а).

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но, по мере удаления от оси, ско­рость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы «прилипает» к стенке, и ее скорость здесь обра­щается в нуль.

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиу­сом Я (рис. П-9, б), цилиндрический слой длиной I и радиусом г.

Движение слоя происходит под действием разности сил давления Р\ и Р_а с обеих торцовых сторон цилиндра:

Р\ — Рг = (Р\ — Рг) пг² где р 1, р2 — гидростатические давления в сечениях 1—I и 2—2.