7. Передача тепла конвекцией (конвективный теплообмен) 279

параллелепипеда. Следовательно, конвективная составляющая теплового потока имеет вид

Количество тепла, вносимого в параллелепипед за время йх путем теплопроводности (см. стр. 266), составляет

Суммарное количество тепла, подводимое конвекцией и теплопровод- - ностью

Это количество тепла равно соответствующему изменению энтальпии параллелепипеда:

Отсюда после сокращения подобных членов и простейших преобразо­ваний получим

Уравнение (VIГ,29) представляет собой дифференциальное уравнение конвективного теплообмена, которое называется также уравнением Фурье — Кирхгофа. Это уравнение выражает в наиболее общем виде распределение температур в движущейся жидкости.

Для твердых тел гю_х = хю_у = гю_г — ® и уравнение (VI 1,29) превра­щается в дифференциальное уравнение теплопроводности (VI 1,10).

При установившемся процессе теплообмена в уравнении (VI 1,29)

Тепловое подобие. Из уравнения Фурье—Кирхгофа следует, что тем­пературное поле в движущейся жидкости является функцией различных переменных, в том числе скорости и плотности жидкости. Для практи­ческого использования уравнение (VI1,29) подобно преобразовывают с учетом условий однозначности, т, е. представляют в виде функции от критериев подобия.

[А1

ГБ1

сі<3 = СрР йх

Таким образом

с_рр (IV йх — — рс_р

( ді ді

ЁИ

дг

X

где а — коэффициент температуропроводности.

ср

Более кратко уравнение (VI1,29) можно записать в виде

(VII,29а)

член = 0.

Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре

Рассмотрим первоначально подобие граничных условий. Как указы­валось, при турбулентном движении жидкости тепло у границы потока, т. е. в непосредственной близости от твердой стенки, передается теплопро­водностью через пограничный слой ь направлении, перпендикулярном направлению движения потока. Следовательно, по закону Фурье [урав­нение (VII,8)) количество тепла, проходящее в пограничном слое тол­щиной б через площадь сечения йР за время йх, составляет

лг = —(Л)

Количество тепла, проходящее от стенки в ядро потока, определяется по уравнению теплоотдачи (VI1,27):

с!С2 = а((_СТ—1_ж)4Гс1х (Б)

При установившемся процессе 1еплообмена количества тепла, прохо­дящие через пограничный слой и ядро потока, равны. Поэтому, прирав­нивая выражения (А) и (Б) и сокращая подобные члены, получим

— = —/

281

Равенство критериев Фурье в сходственных точках тепловых пото­ков — необходимое условие подобия неустановившихся процессов тепло­обмена.

Критерий Фурье является аналогом критерия гомохронности Но при гидродинамическом подобии.

Разделив конвективный член — т ня и произведя необходимые сокращения, получим

хю1 _

• = Ре (VII,33)

Этот безразмерный комплекс величин называется критерием Пекле. Он, как следует из проведенного подобного преобразования, является мерой соотношения между теплом, переносимым путем конвекции и путем теплопроводности при конвективном теплообмене.

Необходимыми условиями подобия процессов переноса тепла является, кроме того, соблюдение гидродинамического и 'геоме­трического подобия. Первое характеризуется (см. стр. 80) равенством критериев Но, Ие и Рг в сходственных точках подобных пото­ков, а второе — постоянством отношения основных геометрических раз­меров стенки Ь_и Ь_г, к некоторому характерному размеру.

Для труб характерным размером обычно является их диаметр (Ь₀ = 6). В качестве могут быть приняты также длина трубы, радиус кривизны изогнутой трубы и т. д.

Таким образом, обобщенное (критериальное) уравнение конвективного теплообмена выражается функцией вида

У^о. N11, Ре. Но, Ие, Рг, =0 (VII,34)

или с учетом того, что критерий Нуссельта является определяемым, так как в него входит искомая величина коэффициента теплоотдачи

N11 = /' ^0, Ре, Но, Ие, -Ь- (VII,34а)

Критерий Пекле может быть представлен как произведение двух без­размерных комплексов:

Ре = ^.^-=^.-Н£^ = _Ке.Рг V а ц X

Безразмерный комплекс

Л. = ±£р=р_г (VII,35)

а к V . /

называется критерием Прандтля. Он целиком составлен из величин, выражающих физические свойства жидкости, и характеризует подобие физических свойств теплоносителей в процессах конвективного теплообмена. Критерий Рг является мерой подобия полей температур и скоростей (стр. 278).

При использовании единиц измерения [и] = ^{С С},^е~- н [Х\ — ккал1(м-ч-град) кри-

Л1“

терий Прандтля имеет вид

р_{г = |}3600с_рцг. (VII,35а)

Л

Значения критерия Прандтля для капельных жидкостей порядка 3—300 и значительно уменьшаются с возрастанием температуры, а для газов постоянны и зависят от атомности газа (Рг ~ 0,7—1). Поэтому для жидкостей тепловой подслой тоньше гидродинамического.

Гл. VII. Основы теплопередачи в химической аппаратуре

С введением критерия Рг обобщенное уравнение конвективного тепло- обмена принимает вид

ь_п

N11

-г( Ро. Рг. Но. Це.Рг.-£. -£)

(VI 1,36)

При установившемся процессе теплообмена из обобщенного уравне­ния исключаются критерии Ро и Но. При вынужденном движении, когда влияние сил тяжести на гидродинамику потока, отдающего или воспри­нимающего тепло, принебрежимо мало, влиянием критерия Рг на тепло­отдачу можно пренебречь. Тогда

№.-/-(*«. Рг.ф-. А -£)

(VI 1.37)

Вид функций (VI 1,36) и (VI 1,37) определяется опытным путем, причем обычно им придают степенную форму. Так, например, уравнение (VI 1,37) при движении потока в трубе диаметром с1

■*

Ыи = — = С 1*е^тРг‘

'(т)'

*>Р

Рис. VI1-9. Нагре­вание жидкости в условиях естест­венной циркуля­ции.

Аг = ■

где С, т, п, р — величины, определяемые из опыта.

При теплоотдаче в условиях естественной конвек- ции в числе определяющих критериев должен войти критерий Фруда, отражающий действие сил тяжести в подобных потоках (Рг = Х1>^г1д1). Однако ввиду труд- ности определения скорости при естественной конвекции критерий Фруда целесообразно заменить для данных ус- ловий на производный критерий Архимеда (см. стр. 83).

_8^{3 ._Ро_ц£_ _ ЛИ. ^АР

Ро V² ' р„

Когда процесс теплообмена протекает в условиях естественной конвекции, т. е. сво­бодного движения, обусловленного разностью плотностей нагретых и холодных элемен­тарных объемов жидкости, их разность плотностей Др и подъемная сила, возникающая при движении частиц, определяются температурным напором А/. Поэтому величину Др можно заменить пропорциональной величиной Д/.

Если неподвижная жидкость нагревается в аппарате без принудительного перемешива­ния (рис. УП-9), то для любых двух частиц, находящихся на различном расстоянии- от стенки, через которую передается тепло *>> (₀ и р <3 р₀, причем р = р₀ — р₀Р (* — ^_Q) = ⁼ Ро (I — рДО- Следовательно, зависимость между движущей силой естественной конвек­ции, определяемой разностью плотностей Др, и ее выражением через разность температур имеет вид

^АР = Ро — Р = Ро — Ро (1 — Р ^д0 = РоР ^д*

Подставляя в критерий Аг значение Др = роРА1 и сокращая р₀, получаем выражение нового критерия — критерия Грасгофа:

Сг =

(VI 1.39)

где Р — коэффициент объемного расширения жидкости, 1/град; ДI — разность температур между стенкой и жидкостью (или наоборот), которой определяется разность плотностей жидкости, град; I — определяющий геометрический размер (для трубы — ее диаметр, для вертикальной плоской стенки — ее высота).

Таким образом, критерий йг является, подобно критериям Галилея (ва) и Архимеда (Аг), аналогом критерия Фруда. Критерий вг представ­ляет собой определяющий критерий теплового подобия при естественной конвекции, когда движение жидкости целиком обусловлено самим про­цессом теплообмена. Критерий Грасгофа можно рассматривать как меру отношения сил трения к подъемной силе, определяемой разностью плот­ностей в различных точках неизотермического потока.