3.6.4. Волновое движение газа

После открывания отверстия площадью F в дне цилиндрического сосуда передний фронт волны разрежения распространяется со ско­ростью звука в невозмущенном газе, а задний фронт - со скоростью зву­ка в движущемся к отверстию газовом потоке. В момент прихода фронта волны к противоположному дну начинается падение давления в этой части. Процесс монотонного уменьшения давления продолжается в течение периода отражения волны. Затем отраженная волна возвращает­ся, вновь отражается, и процесс распространения и взаимодействия волн повторяется.

В случае достаточно малых возмущений давления р'=р/р₀ и скорости v'=v/решение линеаризованной системы уравнений пред­ставляет собой линейную суперпозицию прямой и обратной волн.

Решение задачи имеет такой вид:

в сечении х=L (у дна с отверстием)

v = ma₀; р=р_о[(1+2п)];

где F/F1;

в сечении х=0 (у переднего дна)

v=0; р=р_о[1-ктп],

где п=ta₀/2L — число прохождений волны туда и обратно.

В промежуточных сечениях происходит периодическое (с периодом t=ta_o/L=2) изменение скорости в пределах от 0 до та₀. В моменты t=2п газ покоится во всем объеме, а в моменты времени t'=2n+1 газ движется со скоростью v=v'a=та на всей длине L.

Результаты расчета p{t) по формуле квазистационарной теории близки к точным значениям и совпадают с линейными при т1. При срав­нении точных и квазистационарных зависимостей необходимо учесть, что

.

Рис. 3.8. Волновые движения газа:

а — относительное давление у переднего и заднего (с вскрываемым отверстием) днищ соответственно; 1, 2 - относительная длина L/d=10,5; 3, 4 - L/d=1,5; 5, 6- одномерная модель; б — относительная реактивная сила; 1 — L/d=10,5; 2 - L/d=1,5; 3 - одномерная модель.

Тяга двигателя (так же, как и перепад давлений) при неустановившемся истечении отличается от квазистационарного значения на значение

.

Для оценки в первом приближении поправки Р рассмотрим одномерное течение газа в цилиндрическом сосуде, неустановившееся истече­ние из которого происходит лишь через строго радиальные отверстия возле заднего дна (угол между осью сосуда и плоскостью, проходящей через оси истекающих струй, равен 90°). Осевая реактивная сила такого сосуда при установившемся истечении равна нулю. Нестационарная составляющая осевой тяги согласно волновой теории в промежутке вре­мени равна

.

В момент t=L/нестационарная составляющая меняет знак, и при обратном движении волны (L/a₀ t2L/a₀)

.

Как количество движения газа, так и количество движения сосуда будут в этом случае изменяться периодически.

Нестационарное истечение воздуха из цилиндра при внезапном от­крывании отверстия(F/F=0,49) рассчитано графоаналитическим ме­тодом в одномерной постановке и методом С.К. Годунова в двухмерной постановке; в последнем случае расчет проведен для двух значений от­носительной длины: малой L/d=1,5 и большой L/d=10,5. Полученные результаты иллюстрируют влияние постановки задачи и метода на перепад давлений и тягу (рис. 3.8, р₀ - начальное давление; P=P/p₀F; L/d - относительная длина цилиндра; d/d=0,7).