Эмпирическая функция распределения и гистограмма результатов испытаний

Чисто технические трудности заставляют нас ограничиться планами [N, U, r]и[N, U, T]. Напомним, что план[N, U, N] означает испытаниеNизделий до отказа последнего из них; отказавшие изделия не заменяются новыми. План [N,U,N] можно использовать в случае, когда изделия сравнительно ненадёжны, или же при проведении ускоренных испытаний.

Предположим, что испытываемые изделия занумерованы числами 1..Nиi-ое изделие отказывает в случайный момент τ_i. Первый отказ наступает в моментt₁=min(τ₁ ,.., τ_N); , гдеi₁- номер изделия отказавшего первым;i₁- случайное число. Второй отказ наступает в момент, ,i₂ – номер изделия отказавшего вторым и т.д. Наконец, в моментотказывает последнее изделие.

В статистике так упорядоченную последовательность чисел t₁ ≤ t₂ ≤ …≤ t_Nназывают вариационным рядом для результатов наблюдений .

При использовании плана [N, U, T]наблюдаются только те отказы, которые происходят до момента времениT. Еслиt₁ ≤ t₂ ≤ …≤ t_n(T) ≤ T(отказ с номеромn(T)+1, если он возможен, наступает после моментаT). Таким образом,n(T)означает номер последнего отказа, который происходит до моментаTокончания испытаний. Если изделия достаточно надёжно работают в интервале времени(0, T), то нередко случается, что отказы не наблюдаются иn(T)=0, что, однако не даёт нам права заключать, что надёжность изделий равна единице. Впоследствии мы укажем правило оценки надёжности в подобных случаях, основанное на понятии доверительного интервала. Наиболее полной характеристической надёжности изделий является функция распределенияF(t)≡Q(t)для времени безотказной работы. О виде функцииF(t)можно судить по так называемой эмпирической функции распределенияF_N(t), определяемой равенством:

(12.1)

Таким образом, эмпирическая функция распределения при каждом значении tслучайной величиныτравна числу значений случайной величины, меньшихt(числу изделий отказавших до моментаt) делённому на общее число испытаний (общем партииN). График функцииF_N(t)показан на рис. (12.2.). Если используется план[N, U, T], то значенияF_N(t)могут быть определены только дляt≤T, т.е. до уровня. При использовании плана[N, U, r]значенияF_N(t)определяются до уровня

Рис.12.4.

Оценкой плотности вероятности может служить гистограмм. При построении гистограммы строится статический ряд: область значений времениtразбивается на интервалы (разряды)(S_k,S_k+1) k=1,2..m. Целесообразно выбиратьm=10–20. На каждом интервале определяется частота, где-число отказов, которые наблюдаются в интервале(S_k,S_k+1);.

Статистическая плотность вероятности на каждом интервале определяется следующим образом:

Построение гистограммы иллюстрируется таблицей и рис. 12.3.

Площадь под гистограммой должна быть равна единице

Рис. 12.5.

Статистическая опасность(интенсивность отказов) также можно найти, построив статистический ряд:

, (12.3)

где N-общее число изделий, поставленных на испытания,

- общее число отказов изделий в течение наработки(0, t_i).

Во многих случаях не обязательно знать всю функцию распределения F(t), её плотность вероятностиq(t)и функцию опасности отказовλ(t), а достаточно знать лишь некоторые характеристики: моменты, квалитеты и другие характеристики. Используется вариационный ряд.

Начальный момент k-го порядка в случае плана [N,U,N] определяется по формуле:

. (12.4)

При k=1 имеем статистическое среднее .

Центральный момент k-го порядка:

. (12.5)

При k=2 формула (12.5) даёт статистическую дисперсию.

Число t_pтакое, чтоF(t_p)=p, гдеF(t)функция распределения, называется квантилью уровня“P”. Эмпирической квантильюуровня“P”называется одно из решений уравнения.

Мы всюду предполагаем, что функция F(t)является непрерывной.

Точечные оценки параметров распределения.

Зачастую приходится иметь дело с такой ситуацией, когда нам необходимо на основании испытаний оценить значение одного или нескольких неизвестных параметров. С этой задачей сталкиваются как при нахождении функции распределения, когда известен её аналитический вид, так и при оценке числовых характеристик случайной величины. Одним из наиболее распространённых подходов к оценке параметра является следующий подход. Пусть F(t, α) является функцией распределения случайной величиныτ. α – неизвестный параметр (αможет быть векторной величиной). Обозначим результаты независимых испытаний случайной величиныτ. Точечной оценкой параметра будем называть некоторую функцию, зависящую только от результатов испытаний и известных величин, но не от неизвестного параметра. Оценкаявляется некоторой случайной величиной и поэтому может изменяться от одной серии испытаний к другой. В качестве оценкиможно предложить большое число функцийJ, поэтому, чтобы избежать полного произвола, необходимо наложить на них некоторые естественные условия. Обычно стремятся, чтобы оценки обладали свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности. Оценкапараметраαназывается несмещённой, если математическое ожидание оценки равно самому параметру, т.е.

. (12.6)

Если нам нужно оценить математическое ожидание случайной величины τ(a=M[τ]), то в качестве оценки можно выбрать функцию

.

Легко подсчитать, что эта оценка является несмещённой.

При оценке параметра посредством эмпирической дисперсии получается смещение. Если мы хотим получить несмещённую оценку , то следует брать функцию.

Оценка параметраαназывается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений до бесконечности оценка сходится к оцениваемому параметру по вероятности, т.е.

(12.7).

Легко проверить, что все приведённые нами выше примеры оценок параметров “α”иявляются состоятельными, причём для параметрасостоятельными являются как оценка, так и оценка. Оценка параметраαявляется эффективной, если дисперсия оценки не превышает некоторого заданного уровня. Мы скажем, что оценкаJ₁эффективнее, чем оценкаJ₂, если. При некоторых общих ограничениях, наложенных на аналитические свойства оценокJ, можно указать нижнюю грань для всех оценок рассматриваемого класса: . Если оценкатакова, что, то оценканазывается эффективной. Оценкадля параметраαраспределенияэффективна.

Для точной оценки параметров распределений используются: графические методы, метод максимального правдоподобия, методы квантилей и моментов.