Контроль по методу однократной выборки.

Метод однократной выборки заключается в том, что из контролируемой партии объёма Nизделий берётся одна случайная выборка объёма “n” изделий. Заданы рискиα, β. Исходя изN, n, α, β устанавливаются оценочные нормативыА₀иА₁. Если контролируется число дефектных изделий “d” в выборке “n”, то приd(n)≤А₀– приём;d(n)≥ А₁ – браковка.

Надёжность партии считается высокой, если в партии объёма NимеетсяD₀дефектных изделий (q₀=D₀/N) и низкой при наличииD₁дефектных изделий (q₁=D₁/N). При заданныхαиβоценочные нормативы определяются из соотношений, использующих гипергеометрическое распределение (см. 1.4.2)

;

, (12.21)

где - риск поставщика, близкий к заданномуα;

- риск заказчика, близкий к заданномуβ.

В общем случае ииз-за дискретности гипергеометрического распределения. Практическое использование формул (12.21) приn>100 весьма затруднительно. Приq₀<0.1 иq₁<0.1 хорошее приближение к (12.21) дают формулы:

, (12.22)

где 𝜑=n/N – оценка плотности биномиального распределения.

Соотношения (12.22) целесообразно использовать при N≤500. Когда объём партииN>500, а также при испытаниях восстанавливаемых изделий или когдаn≤0.1Nможно использовать следующие формулы:

, (12.23)

где q₀иq₁– вероятности отказа.

Для подсчёта А₀иА₁приn≤500 можно пользоваться табл. П 7.11 [22]. Если соблюдаются условияn≤0.1N; q₀<0.1; q₁<0.1то можно использовать распределение Пуассона:

, (12.24)

где a₀=q₀n; a₁=q₁n. Ошибка, возникающая при замене биномиального распределения распределением Пуассона имеет порядокq²n. Формулы (12.24) целесообразно использовать для контроля надёжности крупносерийных (n≥50) высоконадёжных устройств. Очень удобной таблицей для построения планов контроля, основанных на распределение Пуассона является таблица П.7.12 [22] , с помощью которой при заданных αидиβиА₀илиА₁ можно определитьa₀=nq₀илиa₁=nq_1. При этом легко определить объём выборки, если известныq₀ иq_1, а также решить обратную задачу – найтиq₀ илиq_1, при заданномn.

Ниже приводиться фрагмент данной таблицы:

Таблица 12.2. Значения a=nqдля заданных вероятностей распределения Пуассона

При контроле больших партий (50≤n≤0.1N) со сравнительно невысокой надёжностью (nq₀≥4) можно пользоваться приближёнными формулами:

;

, (12.25)

где Ф₀– функция Лапласа.

Ниже приводяться типовые примеры решения задач при одиночном контроле:

Пример №1.

Партия изделий состоит из N=50 экземпляров. Партия считается хорошей, если в ней содержится не более 10% дефектных изделий, и плохой – при содержании 20% дефектных изделий. Риски поставщика и заказчика:α=β=0,1. Определить приемлемоеА₀и браковочноеА₁числа дефектных изделий в выборке объёмомn=20.

Решение.

Так как N<100, а относительный объём выборки велик (n/N=0,4), то используем гипергеометрическое распределение (12.21).

1. Число дефектных изделий при 10% дефектных изделий в партии: D₀=Nq₀=50*0,1=5; при 20% дефектных изделийD₁=Nq₁=50*0,2=10.

2. Определяем числа А₀иА_1. Для этого по формулам (12.21) накапливаем вероятностиPдо тех пор, пока накопленные вероятности не приблизятся к1-α=P(d≤A₀) и кβ=P(d<A₁-1).

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,1=0,90; Величины сочетаний (биномиальные коэффициенты) определяем по таблице П. 7.10 [22]. Далее получаем:

;

;

;

;

P(d≤3)=0,067+0,258+0,364+0,234=0,923.

Полученная величина близка к 1-α=0,90, т.е. фактический риск поставщика близок к принятому:. ПоэтомуA₀=3. Аналогичным образом рассчитываем поправочное числоA₁:

;

;

;

P(d≤2)=0,003+0,028+0,096=0,127.

Следовательно с риском , близким к первоначальному установленномуβ=0,1 приd₁=2 дефектных изделий в выборке партию можно принять, а приd₁=3 – браковать(β=P(d₁≤A₁-1), A₁=d₁+1=2+1=3).

В данном случае А₀=А₁=3. Это означает, что одиночный контроль не может производится одновременно в интересах поставщика и заказчика. Защита интересов потребителя может привести к требованию браковочного числа, меньшего, чем приёмочное число при контроле в интересах поставщика. Обоюдно малый риск при браковочном числе, на единицу превышающем приёмочное, может быть получен в том случае, когдаD₁существенно большеD₀.

Пример № 2.

Контролю надёжности подлежит партия N=200 изделий. Определить приёмочноеА₀и браковочноеА₁числа дефектных изделий в выборке ихn=40 изделий. Партия считается хорошей, если в ней содержится 5% и плохой – если 10% дефектных изделий. Риск поставщикаα=0,20; риск заказчикаβ=0,1.

Решение.

Учитывая относительно большой объём контролируемой партии и небольшие значения доли дефектных изделий. Целесообразно производить решение, исходя из f-биномиального распределения, в соответствии с формулами (12.22)

1. Рассчитываем величины f, D0, D1:

f=n/N=40/200=0,2; D₀=Nq₀=10; D₁=Nq₁=20;

2. Определяем числа A₀иА₁суммированием вероятностейf-биномиального распределения до величин, близких кαиβ.

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,2=0,8;

Вычисляем вероятности P(d)и суммируем их:

;

;

;

;

P(d≤2)=0,107+0,268+0,320=0,695;

P(d≤3)=0,107+0,268+0,320+0,202=0,897.

Таким образом можно принять приёмочное число А₀=2 с риском поставщикаили А₀=3с риском поставщика. Если требуется фактический риск приблизить к заданному, то это можно сделать при постоянных объеме партии и доле дефектных изделий в ней, варьируя объёмами выборки и приёмочными числами. Аналогичным образом рассчитываем браковочное число А₁:

;

;

;

P(d≤1)=0,01+0,058=0,068;

P(d≤2)=0,01+0,058+0,137=0,202.

Таким образом, целесообразно считать браковочным числом А₁=2, тогда риск заказчика будет более близким к установленному.

Пример № 3.

С целью контроля надёжности проведены испытания 20 (n=20) восстанавливаемых объектов, при этом зарегистрировано 2 отказа (d=2). Необходимо решить, принять партию или забраковать, если контроль производится в интересах заказчика. Партия считается плохой, еслиq₁≥0,1 (вероятность отказа). Решение должно быть принято с рискомβ=0,08.

Решение.

Исходя из условия задачи, контроль может быть произведён по биномиальному плану с помощью 2-ой из формул (1.2.23). Процедура решения сводится к накапливанию вероятностей до тех пор, пока кумулятивная вероятность станет близкой к заданному риску β. Сравнение числа отказов “d”, полученных при испытании с вычисленным браковочным числом А₁позволит принять решение:

Если d< А₁, то партия принимается,

Если d≥ А₁, то партия бракуется.

Используя таблицу П7.11 [22] определяющую вероятность “d” или меньшего количества дефектов изделий для биномиальных распределений, параметрами которой являетсяn,q₁,dнаходим, что дляn=20,q₁=0.1, d=2находим =0.68, что значительно превышает заданный риск. Из этой же таблицы видно, что приn=20,q₁=0.1, d=0вероятность составляет 0.12. Значит, принимая партию приd=0, риск приёмки плохой партии будет равен 0.12.

Пример № 4.

Из неограниченно большой партии изделий извлечена выборка объёмом n=50 изделий, которая испытана с целью контроля надёжности в интересах поставщика. Партия может быть принята с рискомα=0.15, если вероятность отказа каждого изделия составляет q₀=0.02. Определить приёмочное числоА₀.

Решение.

Так как партия неограниченно большая, то испытания независимы, это позволяет использовать биномиальный закон распределения и определять А₀по 1-ой из формул (12.23) или табл. П7.11 [22]:

Используя таблицу, при n=50, q₀ =q₁=0.05 вероятность 3 или меньшего количества изделий (d≤3) составляет 0.76, а дляd≤4 – 0.90. Следовательно, приёмочное число можно взятьА₀=3, при этом риск поставщика составит=1-0,76=0,24, или взятьА₀=4, тогда =1-0,9=0,1.

Пример № 2.

Установлены следующие параметры плана контроля. Приёмочное число А₀=0, риск поставщикаα=0,1 и вероятность безотказной работыq₀=0,01.

Определить объём выборки, потребной для осуществления контроля по плану, основанному на распределении Пуассона.

Решение: используем формулы (12.24) или табл. П7.11 [20] для А₀=0 иα=0,1 находимa=0,10536; по формулеn=a/qи заданномуq₀определим объем выборкиn=0,10536/0,01=11единиц.

Пример № 6.

Для контроля надёжности в интересах заказчика выделена выборка n=40 штук. Установлены значенияβ=0,05 и браковочное числоА₁=2. Определить верхнее значение вероятности отказа в случае приёмки партии приd=1.

Решение: используем формулы (12.24) или табл. П7.11 [22] дляА₁=0иβ=0,05находимa=4,74; По полученному “a” и заданному “n” находим:q₁=a/n=4,74/40=0,12.

Пример № 7.

Партия проверяется в интересах поставщика с допустимым риском α=0,1. Приемлемая вероятность отказаq₀=0,12. В результате испытаний полученоd=8отказов. Требуется произвести контроль партии изделий, выборка из которой объёмомn=100 экземпляров составляет незначительную долю (n/N<0,1).

Решение:для определения пригодности партии можно использовать формулу (12.25), полученную исходя из нормального закона. Подсчитаем величинуz,подставив в формулу (12.25) значения “d”вместоА₀:

Определяем функцию Лапласа Ф₀(1,85)=-0,468 (см. таблицуФ(z)). По формуле (12.25) находим =0,5-Ф₀(1,85)=0,5+0,468=0,968. Следовательно приА₀=d=8браковка партии приводит к риску поставщика значительно превышающему заданныйα=0,1. Для уменьшения риска нужно братьА₀>>8. Нетрудно подсчитать, чтоА₀=20и приd=8в данном примере партия может быть принята. (d(n)< А₀).

Последовательный метод контроля надёжности.

Последовательный метод контроля не предусматривает предварительного определения объёма выборки. Задаются два уровня надёжности D₀иD₁и рискиαиβ. Информация о надёжности испытываемых изделий накапливается при последовательно возрастающем объёме испытанийm=n₁+n₂+…+n_mопределяется отношение правдоподобияγ_mи сравнивается с заранее определёнными оценочными нормативамиA=(1- β)/ α; B= β/(1- α).Эти нормативы определяются на основании статистической теории оценивания. Отношение правдоподобия. Если

При последовательном контроле возможны два способа контроля:

- контроль числа дефектных изделий;

- контроль по наработке.

Рассмотрим эти виды контроля.

1. Контроль числа дефектных изделий.

Если контролируется малосерийная партия объёмом N<150 иd_m- число дефектных изделий в выборке объёма “m”, тоγ_mопределяется с использованием гипергеометрического распределения:

. (12.26)

Здесь D₀ – число дефектных изделий в партии хорошей надежности,D₁– число дефектных изделий в партии плохой надёжности (D₀иD₁задаются).

Формула (12.26) приводит к сложным расчетам. Более удобной и достаточно точной является формула, использующая 𝜑– биномиальное распределение:

, (12.27)

где ;;.

Для облегчения процедуры контроля можно заранее подсчитать для определённых значений d_m=0,1,2,3… приёмочные (m_пр) и браковочные (m_бр) объёма испытаний:

(12.28)

(12.29)

Рассчитанный таким образом план контроля может быть представлен в табличной или графической форме. На рис.12.8. показан график контроля, где область “П”, лежащая выше линии 1, - область приёмки, область “Б”, лежащая выше линии 2, - область браковки, область “ПИ”, заключённая между линиями 1,2 и осями координат, - область продолжения испытаний.

Рис. 12.10

Графики контроля можно строить по трём точкам:

а) d_m=0,;

б) d_m=D₀,;

в) ,m=N

Для контроля больших партий изделий (N≥1000), а также восстанавливаемых изделий целесообразно пользоваться биномиальными планами. В этом случае

, (12.30)

где q₀– вероятность отказа в каждом одиночном испытании для партии с хорошей надёжностью;q₁– то же для партии с плохой надёжностью. Из (12.30) вытекают формулы для приёмочных (d_пр) и браковочных (d_бр).

Имея дефектных испытаний из числа “m” испытаний

,, (12.31)

где ,,

Приёмочные и браковочные числа для ряда значений “m” могут быть подсчитаны заранее и представлены виде таблиц плана. Для практических целей удобнее представлять план контроля в виде графика (Рис.1.2.8). Из (12.31) следует, что приёмочные (d_пр) и браковочные (d_бр) числа линейно зависят от объёма испытаний.

Рис. 12.11.

Если риски поставщика и заказчика равны: α=β, то h₁=h₂. Из (12.31) можно определить минимальное число испытанийm₀, при котором можно принять партию, когда число отказовd=0: m₀=-(h₁/S).

Если контролируется надёжность большой партии изделий (N≥1000) или восстанавливаемых изделий при условииq₁≤0,1, то исходя из распределения Пуассона, имеем:

. (12.32)

Тогда исходные величины для построения графика контроля определяются соотношениями:

;;. (12.33)

Все остальные положения последовательного контроля остаются такими же как и к биномиальном плане.

Контроль по наработке.

Рассмотрим случай экспоненциального распределения времени безотказной работы. В этом случае последовательный контроль надёжности по наработке осуществляется в соответствии с правилами:

Если

(12.34)

где - суммарная наработка всех испытываемых изделий

;;

(12.35)

- интенсивность отказов изделий надёжной партии,- то же ненадёжной партии., (- наработка до отказаi-го изделия) – суммарная наработка на каждом этапе при неусечённых последовательных испытаниях невосстанавливаемых изделий. При одновременном испытанииNневосстанавливаемых изделий на каждом этапе испытаний, отмеченных временем. Если на испытании находитсяNвосстанавливаемых изделий, замена которых осуществляется практически мгновенно, то на каждом этапе:. График последовательного контроля изображён на рис 12.10.

Рис 12.12

Характерными точками графика являются:

a);

б) ;

в)

В случае нормального распределения с известной дисперсией последовательный контроль надёжности по наработке осуществляется в соответствии с правилами:

(12.36)

где ;;;,- средняя наработка в партии с хорошей надёжностью,- то же в партии с плохой надёжностью.

График последовательного контроля изображён на рис 12.11.

Рис 12.13

Характерными точками графика являются:

a);

б) ;

в)

Типовые примеры решения задач последовательного контроля.

Пример № 1.

Последовательному контролю подлежит партия из N=100невосстанавливаемых изделий. Партия считается хорошей при числе дефектных изделийq₀=0,05и плохой приq₁=0,1. Риски поставщика и заказчикаα=β=0,1. Определить приёмочные (m_пр) и браковочные (m_бр) числа испытаний при числе дефектных изделийd_m=0,1,2,3,4,2.Построить график контроля и принять решение в случаеd_m=4при числе испытанийm=22.

Решение:так как объём партии мал, используемf-биномиальный план.

1. Определяем число дефектных изделий в партии хорошей и плохой надёжности: D₀=q₀N=0,05*100=5; D₁=q₁N=0,1*100=10

2. Находим значения оценочных нормативов:

3. А=(1-β)/α=(1-0,1)/0,1=9; B=B/(1- α)=0,1/(1-0,1)=0,11.

4. Определяем Сиr: ;r=D₁-D₀=10-5=5;

Определяем приёмочные числа d=0,1,2…

d=0:;;

d₁=1:;;

и т.д.

5. Определяем браковочные числа:

. Очевидно, эта формула имеет смысл приС_m<C/A=252/9=28.8, что в соответствии с таблицей биномиальных коэффициентов [22] имеет место приd_m≥3. Дляd_m=3;;и т.д.

После расчета всех приёмочных и браковочных чисел таблица плана может быть представлена в виде:

Таблица 12.3. Таблица приёмочных и браковочных чисел плана

6. Определяются характерные точки графика плана:

а) d_m=0; ;

б) d_m=D₀=5; ;

в) m=N=100.

Рис. 12.14

Заданная по условию рабочая точка попадает в область Б.

;m=25;d_m=4;;C=252;.

Т.е. партия бракуется.

Пример № 2.

Надёжность изделий, выпускаемых большой серией считается высокой при интенсивности отказов и низкой при. Риски поставщика и заказчика одинаковыα=β=0,02.Рассчитывать последовательный план выходного контроля контроля доdm=m=10. Принять решение для 3х рабочих точек:d=0,=5000ч.;d=1;=5000ч.;d=2;=300ч.

Решение:

1. Вычисляем значения оценочных нормативов:

А=(1-β)/α=(1-0,05)/0,05=19; B=B/(1- α)=0,05/(1-0,05)=0,053.

2. Вычисляем константы:

3. Таблицу плана вычисляем по формулам:

4. График плана (Рис.12.13) можно построить с помощью полученной таблицы или по трём характерным точкам.

1. ;

2. ;

3. ;

Рис. 12.15

Из графика рис. 12.13 видно:

1. Рабочей точке ,соответствует решение о приемке партии.

2. Рабочей точке ,- решение о браковке.

3. Рабочей точке ,- решение о продолжении испытаний.