12.2.3 Интервальные оценки показателей надёжности.

В предыдущем параграфе были точечные оценки неизвестных параметров. Эти оценки являются случайными величинами. Какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали, например несмещённостью и эффективностью, все же в ряде случаев, представляющих большой практический интерес, оказывается недостаточным характеризовать качество и надёжность изделий только с помощью точечных оценок. Может оказаться, что при проведении испытаний отказы вообще не наблюдаются, а если и появляются, то в небольшом количестве. В результате величина оценок резко меняется от испытания к испытанию и не может служить устойчивой характеристикой надёжности изделий. Это приводит к выводу о целесообразности использования метода доверительных интервалов [2,18].

Р.Фишер в место функции θ(t₁…t_N)от результатов испытанийt₁…t_N, которая принимается за приближённое значение неизвестного параметра ищут две функцииθ_н(t₁…t_N) иθ_в(t₁…t_N) от результатов испытаний, но не от самого параметра, для которых вероятность покрытия неизвестного параметраθотрезком[θ_н, θ_в]равна заданной величине α:

, (12.15)

где α- двусторонняя доверительная вероятность,

θ_н, θ_в– доверительные границы,

[θ_н, θ_в]– доверительный интервал.

Часто возникает необходимость установить одну из границ интервала [θ_н, θ_в]:нижнююθ_нили верхнююθ_в, отвечающих доверительным вероятностям α₁и α₂– соответственно нижней и верхней доверительной вероятности.

. (12.16)

Величина β=1-α– вероятность того, что значение параметраθвыйдет из интервала[θ_н, θ_в]называется уровнем значимости.

Значение α обычно задаётся: α=0,90; α=0,95; α=0,99; Значение доверительного интервала[θ_н, θ_в]получают на основании информации о законе распределения времени до появления отказа. В самом общем случае определение доверительного интервала можно представить следующим образом. На рис. 12.2. показан произвольный закон распределения.[Т_н, Т_в]– доверительный интервал

Рис. 12.8. Графическое представление доверительного интервала.

Из рисунка 12.6. а) видно, что α₁+ α₂– γ = 1. Положение точкиТ_нна осиtопределятся α₁:. Положение Т_в– вероятностью α₂:

(12.17)

Значения этих вероятностей следующим образом связаны с доверительной вероятностью α при условии, что доверительный интервал вписывается в середину площади, ограниченной кривой распределения:

(12.18)

Из рис. 12.6 также очевидно, что числовые значения границ доверительного интервала зависят не только от заданной доверительной вероятности, но и от закона распределения случайной величины (в данном случае величины τ– времени до появления отказа). В источниках [2,5,22] имеются таблицы, позволяющие на основании формул (12.17) определять доверительные интервалы для: 1) средней наработки на отказTпо зафиксированным временам возникновения отказов; 2) вероятности отказа в одном испытании по числу отказавших изделий. Рассмотрим эти задачи.