logo search
Пособие 5

Графические методы.

Эти методы применимы для некоторых семейств функций распределения F(t, α, β), содержащих два неизвестных параметраα, β. График функцииF(t, α, β)можно представить в виде совокупности точек на плоскости(t, p), гдеp=F(t,α,β). Основная идея графического метода состоит в том, что подбирается такая непрерывная замена координат ,, что при этом график функции распределения на плоскости , где, становится прямой линией(12.8). Используем этот факт для оценки параметровα, β.

Предположим, что в результате испытаний получены Nзначений некоторой случайной величины (например, времени безотказной работы). По этим значениям мы можем построить эмпирическую функцию распределенияF(t, α, β), то после замены переменных график, где , а , будет лежать в непосредственной близости от графика, являющегося прямой вида (12.8). Оценив с помощью линейки тангенс угла наклона“k”и свободный член“b”и приравняв их теоретическим значениям, получаем уравнения:k= Ψ(α, β), b=χ(α, β)(12.9), из которых находим оценки неизвестных значений параметровαиβ. Заметим, что графический метод применим для любого из планов[N, U, r], [N, R, r],[N, U, T], [N, R, T], [N, U, (r, T)], [N, R, (r, T)]. Например, в случае плана [N, U, (r, T)]по результатам испытаний можем построить только частьдля значенийt≤min(tr,T)и, гдеn(T)≤r– число изделий, отказавших во время проведения испытаний. Если к полученному куску эмпирической функции распределения применить преобразования ,, то на плоскостиполучим кусок ломаной, близкой одной из прямых вида (1.2.8). По этому куску оцениваем“k”и“b”и снова приходим к уравнениям (1.2.9).

Рассмотрим пример.

Пусть имеем нормальное распределение: , гдеобозначим. Тогда. Таким образом“U”– квантиль уровня“P” нормального распределения. В качестве преобразованияJ(P)рассмотрим функцию , обратную к функцииP=Ф(t). При этом получаем

. (12.10).

Таким образом, (12.10) соответствует (12.9), когда ;;. Для удобства использования выпускается специальная координатная шкала, по оси абсцисс отложены значенияtслучайной величины,aпо оси ординат значения функции . Около каждого значения отмечается соответствующее ему значениеP. Так как , тоявляется квантилью уровня“P”нормального распределения.

Если задан вариационный ряд: t1 ≤ t2 ≤ …≤ tN, то зная по таблице квантилей находим - квантиль уровня “” нормального распределения. ЗначениеPN=0.99соответствует

По значениям иtстроим ломаную линию.

Рис. 12.7.

С помощью вероятностной бумаги можно легко проверять нормальность закона распределения, а заодно и оценивать его параметры. Если ломаная имеет заметную искривлённость, то это говорит о том, что истинный закон распределения не является нормальным. Если же искривлённости нет, то проводя “на глаз” прямую, наиболее плотно прилегающую к ломанной, легко находим оценки для μиσ: μравно абсциссе точкиА, гдеА– точка пересечения прямой с осью “t”; σ равно расстояниюAB, где“B” точка на осиt, в которой величина перпендикуляра, опущенного из точки прямой на осьt, равна 1 (рис. 12.4.) (в единицах масштаба оси абсцисс).