Метод квантилей.

Это такой же эмпирический метод, как и метод моментов. Он состоит в том, что квантиль теоретического распределения приравниваются к эмпирической квантили. Если оценке подлежат несколько параметров, то соответствующие равенства пишутся для нескольких квантилей.

Рассмотрим случай, когда закон распределения F(t,α,β) с двумя неизвестными параметрамиα, β. Пусть функцияF(t,α,β) имеет непрерывно дифференцируемую плотность, принимающую положительные значения для любых возможных значений параметровα, β. Если испытания проводить по плану[N, U, r], r>>1, то моментпоявления- го отказа можно рассматривать как эмпирическую квантиль уровня,i=1,2… , - эмпирическая функция распределения. Если быt_lиt_r– моменты появленияl-го иr-го отказов известны точно, значения параметровαиβможно было бы найти из уравнений

F(t_l,α,β)= q_e, F(t_r,α,β)= q_r (12.13)

Нам известны лишь приближённые значения квантилей q_{e и} q_r. Заменяя в уравнениях (12.13) значения квантилей их оценками, получаем уравнения,(12.14) (обычно). Решениеуравнений (12.14) являются состоятельными оценками для параметровпричто непосредственно следует из непрерывности функцииF(t,α,β).Можно показать, что эти оценки при весьма общих предположениях типа гладкости функцииF(t,α,β)являются асимптотически несмещёнными и асимптотически нормально распределёнными.

Проиллюстрируем метод квантилей на примере закона Вейбулла: . Испытания проводятся по плану[N, U, r].Выбираем значение. В результате испытаний фиксируются значенияt_lиt_r моментовl-го иr-го отказов. Уравнения (1.2.14) переписываются в виде:Разрешая их относительно неизвестных параметрови, получаем оценки:;.