logo search
Пособие 5

Определение доверительного интервала для средней наработки на отказ

Используется то обстоятельство, что отношение удвоенного значения суммарной наработки на отказ к среднему времени безотказной работы имеет распределение χ2 , причём время отказа подчиняется экспоненциальному закону. Отсюда возникает возможность определять нижнее и верхнее значения Т, если задана доверительная вероятностьα. Т.о.Из рис. 12.7 видно, что доверительная вероятность γ≡α, соответствующая заштрихованной площади, ограничена двумя значениями χ2: нижним значением, равными верхним.

Рис.12.9.

Поэтому нижнее значение Т при известных величинах – суммарной наработке tpи доверительной вероятности γ≡α будет равно:

, где=2n+2– число степеней χ2- распределения при определенииТH; - значение вероятности того, что χ2 больше . Для определенияиспользуется таблица квантилей распределения χ2[Л..] Имеем: - квантиль уровня “P” распределения χ2.

Верхнее значение Т при тех же параметрах равно , где=2n– число степеней свободы χ2- распределения при определении Тв.

.

Таким образом, границы доверительного интервала для Т определяются выражением:

(12.19)

;;;

Среднее значение средней наработки на отказ равно

Рассмотрим пример:

Получены следующие результаты по плану [N,U,N]; n1,n2– соответственно числа отказов, полученные при первом (N1=21) и втором (N2=10) испытаниях:

tчас

100

200

300

400

500

600

700

800

n1

6

5

3

3

1

1

1

1

n2

1

2

4

2

1

-

-

-

Определить доверительный интервал для Тс доверительной вероятностиα=0.8, а такжеТср.

Решение.

Для первого испытания: tp=6*100+5*200+3*300+500+600+700+800+800=6300ч. ;Kн=2n+2=2*21+2=44; KB=2n=42; ;;.

Для второго испытания: tp=100+2*200+4*300+2*400+500=3000ч.; Kн=2n+2=2*10+2=22; KB=2n=20; ;;;.

Для значений была использована таблица, построенная на основе квантилей- распределения. В этой таблицеK- число степеней свободы,γ- вероятность того, чтопринимает значение, большее указанного в таблице. Приведём форму этой таблицы: Значенияв зависимости отKи γ:

Таблица 12.1. Таблица - рспределения

K

γ

0,99 … … … … … … … … … … … … … … 0,05

1

.

.

50

,

Определение доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа в одном испытании по числу обнаруженных отказов.

Этот случай возникает при решении следующих типовых задач. По линии связи передается Nкоманд; “n” команд не доходят до исполнителя за данное время. Требуется определить доверительный интервал для вероятности прохождения команд за данное время. Аналогичная задача возникает при испытанииNизделий с целью определения вероятности отсутствия отказов за данное время.

Доверительный интервал определяется из следующих уравнений для вероятности того, что число отказов будет не меньше “n”. Эти уравнения записываются с использованием биноминального закона распределения, определяющего вероятность появления числа “n” события “A” вNнезависимых испытаниях (см. 12.2).

;

(12.20)

где- число сочетаний изNпоi, PB иPH– верхнее и нижнее значение вероятности отсутствия отказов в одном испытании.

По уравнения (12.20) составлены таблицы [2,3,4,8,15,20], позволяющие определить нижнее и верхнее значения доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа по заданным значениям Nиn. Например, решается задача:

Определить доверительный интервал с вероятностью α=0,9 для вероятности отсутствия отказа изделия в одном испытании, если при испытанияхN=40 изделий отказало 12.

По таблице [Л прил.8] находим PH=0,6412;PB=0,8382.