Пособие 5

3.3. Показатели безотказности объектов с мгновенным восстановлением.

Допущение о мгновенном восстановлении работоспособности может быть принято только в том случае, когда время восстановления существенно меньше времени наработки на отказ.

Сущность модели восстанавливаемого объекта с мгновенным восстановлением заключается в следующем (рис. 3.5): в момент начала работы t = 0 объект работоспособен; проработав случайное время, объектпереходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени возникает первый отказ; затем следует мгновенное и полное восстановление работоспособности объекта; проработав случайное время , объект снова переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени возникает второй отказ; снова следует мгновенное и полное восстановление работоспособности объекта и т.д.

t-x

Рис. 3.5. Модель восстанавливаемого объекта с мгновенным восстановлением

Интервалы времени между отказами являются конкретными реализациями случайного временимежду отказами. Случайная величина времени между отказами, которая характеризуется функцией распределения и плотностью распределения, выражения для которых соответственно имеют вид:

(3.22)

. (3.23)

Моменты времени возникновения 1, 2,…, i-го, …, m-го отказов:

образуют поток отказов, а так как восстановление происходит мгновенно, то эти же моменты образуют и поток восстановлений. Моменты времени являются случайными величинами и характеризуются функциями распределения

Функции распределения - это вероятности того, что первый, второй,…,-ый отказы произойдут за время , где- заданное время (наработка).

Процесс отказов (восстановлений) можно описать случайной величиной, равной числу отказов (восстановлений) за время (наработку). Естественно, чтопринимает только целые неотрицательные значения.

Функция распределения дискретной случайной величины [2-5]

(3.24, а)

где - вероятность того, что в момент временичисло отказовбудет больше или равно числуm;

- вероятность того, что m-ый отказ произойдет в момент времени, который меньшеt.

Так как события иобразуют полную группу несовместимых событий, то, и вероятность возникновения числа отказов меньшеm.

. (3.24, б).

Исходя из свойств функции распределения (3.24, а), вероятность возникновения ровно отказов в течение временис учетом (3.24, б)

. (3.24,в)

В теории надежности принято случайную величину числа отказов характеризоватьфункцией восстановления иливедущей функцией потока, под которой понимается математической ожидание числа отказов (восстановлений) за время (наработку) t [2-5,15]

, (3.25)

где - символ математического ожидания.

Известно, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности их возникновения. Следовательно, функция восстановления может быть определена по формуле математического ожидания [2,5,15]

, (3.26)

где m - конкретные значения случайной величины числа отказов ;

- вероятности возникновения ровноm отказов, m=1,2,3,… .

Формула (3.26) с учетом (3.24, в) преобразуется к виду

Если раскрыть сумму в правой части последнего равенства и произвести приведение подобных членов, то будет иметь место следующее выражение

Следовательно, выражение для функции восстановления преобразуется к виду

(3.27)

Зная распределение случайной величины, можно, например, рассчитать на данный (планируемый) период вероятной число отказов, а, следовательно, и число необходимых запасных элементов в составе ЗИП.

Несмотря на то, чтофункция восстановления полностью характеризует поток отказов (восстановлений), ее использование ограничено только нормальным экспоненциальным распределением и гамма-распределением. Поэтому для описания безотказности восстанавливаемых объектов используются параметр потока отказови средняя наработка на отказ.

Параметр потока отказов, или плотность отказов - отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за бесконечно малую наработку к значению этой наработки, т.е.

. (3.28)

После дифференцирования (3.27) для параметра потока отказов имеет место

, (3.29)

где - плотность распределения случайной величины.

Несмотря на некоторую cхожесть параметра потока отказов и интенсивности отказа , они как по определению, так и по существу различные, а именно:

интенсивность отказов – условная плотность вероятности возникновения отказа, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил;

параметр потока отказов – безусловная вероятность возникновения отказа за единицу времени.

Только для периода нормальной эксплуатации численные значения параметра отказов и интенсивности отказов равны, т.е. =.

Средняя наработка на отказ- отношение суммарной наработкивосстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказовв течение этой наработки.

Согласно этому определению средняя наработка на отказ

. (3.30)

С целью существенного упрощения изложения в дальнейшем рассматриваются потоки событий, удовлетворяющие свойствам: ординарности, отсутствия последействия и стационарности.

Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на интервал временидвух и более событий пренебрежимо мало (стремится к нулю) при стремлении длины интервалак нулю. Как показывает опыт эксплуатации технических устройств, одновременное возникновение двух и более отказов маловероятно.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания m событий на интервал времени не зависит от числа и моментов появления событий на других интервалах, не пересекающихся с данным.

Если поток событий является ординарным и без последействия, то число событий, попадающих на интервал времени , распределено по закону редких явлений или закону Пуассона. Такой поток называют пуассоновским [2-5,18]. Для пуассоновского потока вероятность того, что случайная величина числа событий , попавших на интервал , выражается формулой Пуассона

, (3.31)

где a- параметр закона Пуассона (математическое ожидание числа событий, попадающих на интервал);

- символ факториала.

Параметр закона Пуассона определяется формулой [5,15,18]

где - интенсивность потока.

Принято считать, что пуассоновский поток отказов характерен для сложных нерезвированных объектов, состоящих из высоконадежных элементов, потоки отказов которых являются независимыми.

Для таких потоков вероятность безотказной работы на интервале [t₁,t₂] будет определяться формулой

. (3.32)

Если вероятность попадания m событий на интервал времени зависит только от числа m событий и длины интервала и не зависит от начала интервала t, то такой поток называют стационарным. Пуассоновский поток, удовлетворяющий условиям стационарности, называется простейшим [2-5,18].

Для простейшего потока число событий, попадающих в произвольный интервал длиной , распределено по закону Пуассона (3.31) с параметром

. (3.33)

В свою очередь, распределение времени между событиями в простейшем потоке подчинено экспоненциальному закону с плотностью распределения

(3.34)

Для простейшего потока отказов, когда =, справедливы следующие формулы [2-5]:

вероятность возникновения ровно отказов

(3.35)

вероятность возникновения не более отказов

; (3.36)

функция восстановления

; (3.37)

наработка на отказ

; (3.38)

вероятность безотказной работы, когда число отказов ,

. (3.39)

Оценка параметра потока отказов по статистической информации проводится для каждого интервала наработки по формуле

, (3.40, а)

где - число восстанавливаемых объектов, находящихся в эксплуатации;

- число отказов всех объектов на интервале.

Если оценка параметра потока отказов проводится по одному объекту, т.е. , то она характеризует число отказов объекта в единицу времени и определяется по формуле

. (3.40, б)

Оценка наработки на отказ определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемых объектов к суммарному числу отказов этих объектов:

, (3.41, а)

где --я наработка-го объекта;

- число отказов-го объекта.

Для одного объекта оценка наработки на отказ проводится по формуле

, (3.41, б)

где - наработка наi-й отказ;

n - число отказов.

Пример 3.3. Для восстанавливаемого объекта, отказы-восстановления которого образуют простейший поток с параметром потока 1/ч,рассчитать вероятности возникновения одного, двух, …, пяти отказов и другие рассмотренные показатели безотказности для наработки ч.

Решение:

Наработка на отказ ч.
Функция восстановления отказ.
Вероятность безотказной работы

Вероятности возникновения одного, двух, ..., пяти отказов рассчитанных по формуле (3.35) равны соответственно:

Вероятность возникновения не более пяти отказов рассчитана по формуле (3.36) и равна

Параметры потока отказов мгновенно восстанавливаемых объектов определяются следующим образом.

В общем случае среднее количество отказов (замен) на интервале пропорционально числу находящихся под наблюдением объектов и продолжительности интервала наработки :

где -количество отказов объектов из числа безотказно проработавших в течение интервала ;- количество отказов объектов из числа уже отказавших ранее.

Очевидно, что

Для определения среднего количества отказов объектов из числа уже отказавших ранее рассматривается малый интервал наработки , предшествующийt. В течение этого интервала отказало и заменено на новые объектов. Из них на интервале будут вновь заменены объектов. Суммируя по всем от 0до , получаем, что всего из числа уже отказавших (смененных) до момента времени объектов на интервале вновь откажут

объектов.

Тогда общее среднее количество отказов на интервале наработки составит

. (3.42)

При сокращении на уравнение (3.42) принимает вид

. (3.43)

Таким образом, параметр потока отказов связан сплотностью распределения наработки между отказами интегральным уравнением Вольтерра второго рода с разностным ядром [2-5]. Это уравнение не всегда удается решить в конечном виде. Если наработка между отказами-восстановлениями имеет показательное распределение, то из уравнения (3.43) следует, что если , то.

В технических заданиях на проектируемые объекты часто используют среднее значение

где - технический ресурс или срок службы объекта.

Для ординарных безпоследействия (Пуассоновских) потоков отказов вероятность безотказной работы объекта на интервале (t₁,t₂) выражается следующим образом:

Если при плотность распределения наработки доотказа, то существует установившееся значениепараметра потока отказов

, (3.44)

где - средняя наработка на отказ восстанавливаемого объекта (в рассматриваемом случае совпадает со средней наработкой до отказа ).

В общем случае средняя наработка на отказ оценивается как отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Часто используется в качестве самостоятельного показателя надежности. Если наработка выражается в единицах времени, то может применяться термин «среднее время безотказной работы».

ω(t)

(t)

ис 3.6. Параметр потока отказов объектапри нормальном распределении (,)

При нормальном распределении наработки между отказами параметр потока отказов

. (3.45)

где ,- среднее значение и среднее квадратическоеотклонение наработки между отказами.

На рис. 3.6 показано, что значения параметра потока отказов совершают ряд колебаний, прежде чем станут равными . Продолжительность этого колебательного процесса обратно пропорциональна среднему квадратическому отклонению наработки между отказами. Чем меньше , тем определеннее отказы группируются около средних значений и тем большая суммарная наработка должна накопиться, прежде чем сравняют условия появления отказов. При = 0 отказы происходят регулярно и установившееся значение вообще не достигается.

Таким образом, если рассматриваемый интервал наработки выбран достаточно далеко от начала эксплуатации объектов данного типа, то параметр потока отказов можно считать стационарным.

Содержание