4.2 Основные показатели долговечности.

Как известно, характер эксплуатации (функционирования) большинства объектов заключается в периодическом включении их в рабочее состояние. При этом каждое включение в рабочее состояние сопровождается определенным расходом технического ресурса (ресурса), под которым понимается наработка или объем работы объекта от начала эксплуатации или ее возобновления после среднего или капитального ремонта до наступления предельного состояния. Причем многообразие факторов приводит к тому, что интервал между моментами… включений объекта в рабочее состояние и продолжительность или объем работы объекта при каждом включении являются случайными величинами.

Это позволяет представить объект как систему, в которой каждая заявка, поступающая в случайные моменты времени ,,, …, удовлетворяется комплексной наработкой в виде одного цикла «включения-отключения» и некоторого объемаполезной работы, выполняемом при одном включении (см. п.2.2.). Тогда значения наработок в виде числациклов «включений-отключений» и продолжительности (объема)работы или нахождения объекта во включенном состоянии (нахождения под нагрузкой) к произвольному моменту времениtсоставит

, , …, (4.4)

что соответствует модели постепенных отказов, обусловленных накоплением повреждений (см. п.2.2).

Причем число циклов “включений-отключений” объекта на различных этапах его жизненного цикла может быть весьма велико. В этом случае независимо от вида законов распределения случайных величиныи δ наработкии, образуют систему двух асимптотически нормальных величин или нормальный закон на плоскости. Его центры рассеиванияМиМи дисперсииD, D,выражаются через математические ожиданияТ₁, Т₂и дисперсииd₁, d₂случайных величини δ в виде функций календарного времениt, а коэффициент корреляциимежду наработками,, также выражаясь через эти параметры, от времени не зависит, то есть [2,5,8]

М~ ; М ~ ;

D~ ;D ~ ; (4.5)

~ .

Рис 4.1. Эллипсы рассевания наработок в виде суммарного числа включений и суммарной наработки .

Для большинства современных объектов обычно устанавливаются назначенные ресурсы в виде числа R₁циклов «включений-отключений» и времениR₂нахождения во включенном состоянии.

С учетом сказанного функция долговечности объекта P(t,R_1, R₂) может быть выражена через вероятность попадания случайной точки наработок с координатами,в пределе прямоугольной области назначенных ресурсов со сторонамиR₁ иR₂ (рис. 4.1)

P(t;R₁,R₂) = (R_1, R₂,t) =P{[<R₁][<R₂]}, (4.6)

то есть через функцию распределения F_x<2>(R_1, R₂,t) двух случайных величин на плоскости (рис. 4.1)

После выбора новой координатной системы ξοη, центр которой совпадает с центром старой системы координат, 0, а ось абсцисс совпадает с главной осью эллипса рассеивания наработок, и несложных преобразований, связанных с приведением нормального закона на плоскости к каноническому виду, функция долговечности (4.6) объекта может быть представлен в виде [2]

P (t, R₁, R₂) = {}{};

h₁ (t, R_1, R₂) = [R₁ - М]cos α + [R₂ - М] sin α;

h₂ (t, R_1, R₂) = [R₁ - М]sin α + [R₂ - М] cos α;(4.7)

+sin2α +;

+sin2α +;

_.

Угол , составляемый осью рассеивания наработок с осью абсцисс, лежит в первой четверти, если аргумент под знаком арктангенса положителен, то есть приD>D. В противном случае уголотрицателен и лежит в четвертой четверти.

Замена в формулах (4.7) МиМ,D, D, их асимптотическими значениями из формул (4.5) с последующей группировкой членов, содержащихt,R_1, R₂, позволяет выразить вероятность (4.6) с помощью трехпараметрических функций Лапласа (распределение Бернштейна) [2-5],

P (t, R₁, R₂) = { }{, (4.8)

где

+ ; - ;

+ + ; (4.9)

+ + ;

α= .

Вероятность (4.8) представляет собой дополнительную функцию распределения сроков службы объекта при заданных значениях R_1, R₂, ресурсов. И наоборот, при заданном сроке службыtвероятность (4.8) может рассматриваться как функция двух случайных аргументов и. В последнем случае, как нетрудно убедиться, она будет представлять собой функциюF_x<2>(R_1, R₂,t) двумерного нормального распределения случайных величин и_,приведенную к каноническому виду [2,5,8,9]. Действительно, из формул (4.6), (4.8) следует, что

при R₁ = 0,R₂= 0,P(R_1, R₂,t) = 0;

при R₁ 0,R₂,P(R_1, R₂,t)1.

С учетом выражения (4.8) дополнительную функцию двумерного нормального распределения случайных величин и, обеспечивающих заданное значениеtсрока службы объекта, можно записать в следующем виде

_{. (4.10)}

На основе полученных выражений (4.8), (4.9) условия (4.1), (4.2) для определения области (R_1, R_2) гамма-процентных ресурсов и гамма-процентного срока службыt_ приобретают следующий вид:

_(4.11)

. (4.12)