11.3. Оптимальное резервирование

Задача оптимального резервирования заключается в выборе числа и распределения резервных элементов, обеспечивающих в определённом смысле оптимальность всего резервного соединения. Задача на оптимальное резервирование возникает тогда, когда существует определённое ограничение на затрачиваемые для повышения надёжности средства [20,21].

Постановка задачи:

Пусть имеется некоторая реальная система, состоящая из неопределённого числа различных элементов, составленных на логической схеме последовательное соединение (рис 11.4-а):

Рис. 11.4

Перестраиваем эту систему, объединяя однотипные элементы в условные подсистемы (рис. 11.4 -б). Обозначим: x_i (i=1..n)– количество резервных элементов;

X(x₁, x₂..x_n)– вектор состава резервных элементов;

P_i(x_i)– функция надёжности дляi-ой подсистемы, содержащейx_iрезервных элементов.

P(X)– функция надёжности системы с векторомXсостава резервных элементов.

С(X)– затраты на резервирование системы при одном лимитирующем факторе.

C^j(X) (j=1..m)– затраты на резервирование при наличиеjлимитирующих факторов.

Можно записать: , причём может быть определена для каждого конкретного способа резервирования.

, гдеc_i- “стоимость” одного элементаi-го типа.

Возможна постановка следующих двух задач оптимального резервирования:

1. Прямая задача:

Найти число резервных элементов x_i(i=1..n)для каждойi-ойподсистемы, обеспечивающих заданное значение показателя надёжности системы при минимальных затратах, т.е.

при (11.16)

где P₀– заданное значение функции надёжности системы;

X₀– вектор состава резервных элементов оптимальной системы.

2. Обратная задача.

Найти число резервных элементов x_i(i=1..n)подсистемы, обеспечивающих максимальный показатель надёжностиР(Х) при величине затрат не превышающих заданную, т.е.

при (11.17)

где С₀– заданная “стоимость” системы. Для нескольких ограничивающих факторов - при