7.3 Методы определения показателей надежности на основе методов стохастической индикации.

Всё оказанное выше позволяет подойти к методам определения функций распределения индикаторов ипри условии независимости случайных величин и. Для решения этой задачи сформулированы теоремы о функциях распределения стохастических индикаторов [11,12].

Теорема Т1. Если функции распределенияинезависимых случайных величиниизвестны, то

( 7.20)

Доказательство.Cучетом (7.13) введём обозначения:

Тогда, поскольку функция неубывающая, то

_{что и требовалось доказать.}

Теорема Т2. Если дополнительные функции распределенияислучайных величиниизвестны, то

(7.21)

Доказательство.Cучетом (7.14) введём обозначения:

Тогда, поскольку функция невозрастающая¹, то

что и требовалось доказать.

Пример 1. Пусть случайные величины иобе подчинены показательным законам распределения с параметрамиисоответственно:

, (7.22)

.

Тогда согласно Т1 ( 7.20) имеем

(7.23)

(7.24)

откуда

, (7.25)

(7.26)

Из (7.24) может быть получено гарантированное значение вероятности безотказной работы объекта, откуда следует

,

откуда следует

. (7.27)

Формула (7.26) представляет собой математическое ожидание вероятности безотказной работы объекта. Тогда математическое ожидание вероятности отказа объекта составит

(7.28)

Полученное на основе методов теории стохастической индикации выражение (7.28) для вероятности безотказной работы совпадает с её выражением (см. таблицу 3.1), полученным известными методами [2-5,16,18].

Пример 2. Пусть случайные величины ираспределены нормально и имеют соответственно числовые характеристикиито есть

(7.29)

(7.30)

где (.) – нормированная пофункция нормального распределения (табличная функция) [2,5,18,19,22].

Тогда согласно теореме Т1 (7.20) и соотношениям (7.29), (7.30)

(7.31)

где

откуда

(7.32)

. (7.33)

Однако в большинстве случаев вычисление показателей а также соответственно показателейв аналитической форме затруднительно и не всегда возможно. В этом случае для вычисления данных показателей предлагается графоаналитический метод, представленный на рис.7.3.