Коэффициент влияния формы сечения η

В формуле φ_е – коэффициент устойчивости при сжатии с изгибом определяется для сплошностенчатых стержней в зависимости от условной гибкости и приведенного относительного эксцентриситета m_ef (табл. 8.2), определяемого по формуле m_ef = ηm,

где η – коэффициент влияния формы сечения, определяемый по табл. 5.7 (предварительно для таврового сечения принимается η = 1,8);

m = e/ρ_x = eA/W_c – относительный эксцентриситет;

ρ_x = W_c/A – ядровое расстояние; W_c = I_x /z₀ – момент сопротивления сечения для наиболее сжатого волокна; z₀ ≈ 0,3h –расстояние от центра тяжести до наиболее сжатого волокна для таврового сечения; h – высота сечения.

При предварительном подборе сечения для поясов принимается гибкость λ = 60 – 90.

Задаемся гибкостью λ_х = l_x /i_х = 60.

Определяем отвечающие этой гибкости и расчетной длине стержня l_x:

– радиус инерции

i_x,тр = l_x /λ_x = 300 / 60 = 5 см;

– требуемую высоту сечения

h = i_x/α₁ = 5 / 0,3 ≈ 17 см (принимаем h = 18 см),

где α₁ ≈ 0,3 для таврового сечения из двух равнополочных уголков;

– ядровое расстояние

_x = W_c /A = (I_x /A)/z₀ = i²_x /z₀ = (0,3h)² / (0,3h) = 0,3h = 0,3 ∙ 18 = 5,4 см;

– приведенный эксцентриситет

m_ef = ηe/ρ_x = 1,8 ∙ 2,86 / 5,4 = 0,95;

– условную гибкость

.

По условной гибкости и приведенному эксцентриситетуm_ef принимаем φ_е = 0,543.

Требуемая площадь сечения пояса

A_тр = N/(φ_еR_yγ_c) = 1300 / (0,543 ∙ 24 ∙ 0,95) = 105 см²_.

По A_тр и i_х,тр по сортаменту принимаем сечение из двух равнополочных уголков ∟200×200×12 / ГОСТ 8510-86, имеющих характеристики:

А = 2 ∙ 47,1 = 94,2 см²; I_x = 2 ∙ 1822,78 = 3645,36 см⁴; i_х = 6,22 см; z_о = 5,37 см.

Определяем:

– момент сопротивления сечения для наиболее сжатого волокна

W_c = I_x /z_о = 3645,56 / 5,37 = 678,88 см³_;

– ядровое расстояние

ρ_x = W_c/А = 678,88 / 94,2 = 7,2 см;

– относительный эксцентриситет

m = e/ρ_x = 2,86 / 7,2 = 0,4;

– гибкость

λ_х = l_x /i_х = 300 / 6,22 = 48,2;

– условную гибкость

– по табл. 5.7 при A_f /A_w = 1 и = 1,64 вычисляем

η = 1,8 + 0,12m = 1,8 + 0,12 ∙ 0,4 = 1,85;

– приведенный эксцентриситет

m_ef = ηm = 1,85 ∙ 0,4 = 0,74.

По = 1,64 иm_ef = 0,74 определяем φ_е = 0,640.

Производим проверку пояса в плоскости действия момента:

Недонапряжение

Проверяем устойчивость пояса фермы из плоскости действия момента, для чего определяем:

– радиус инерции таврового сечения

см;

– момент инерции

I_y = i_y²A = 8,7² ∙ 94,2 = 7130 см⁴;

– гибкость

λ_у = l_у/i_у = 300 / 8,7 = 34,5.

Так как гибкость стержня λ_у = 34,5 < λ_х = 48,2 (жесткость ЕI_y > EI_x), проверка устойчивости пояса из плоскости действия момента не требуется.

При ЕI_y < ЕI_x проверка устойчивости сжато-изогнутого пояса из плоскости действия момента производится по формуле

где φ_y – коэффициент устойчивости при центральном сжатии относительно оси y-y, принимается по условной гибкости (см. табл. 3.11);

с – коэффициент, учитывающий изгибно-крутильную форму потери ус-

тойчивости и зависящий от относительного эксцентриситета и формы сечения, принимается по [6, п. 5.31].

При подборе сечения внецентренно-сжатых или сжато-изгибаемых элементов можно было воспользоваться наиболее простым, но менее точным способом определения требуемой площади сечения – методом последовательных приближений. Поскольку осевое усилие N играет определяющую роль, предварительно (с некоторым запасом) принимается сечение из расчета на усилие N как центрально-сжатого элемента, а затем оно проверяется с учетом действующего момента как внецентренно-сжатый элемент.

Пример 5.3. Подобрать сечение стержней растянутого нижнего пояса стропильной фермы по максимальному расчетному усилию в середине пролета N_max = 1300 кН и минимальному расчетному усилению в крайней панели

N_min = 450 кН. Расчетная длина стержня в плоскости фермы l_x = 6 м. Материал конструкции – сталь С245; R_y = 24 кН/см² – расчетное сопротивление стали, коэффициент условий работы γ_с = 0,95.

Несущую способность элементов, выполненных из стали с нормативным сопротивлением R_yn ≤ 440 МПа и имеющих развитую площадку текучести, проверяют, исходя из условия развития пластических деформаций, по формуле

Для элементов, выполненных из сталей, не имеющих площадки текучести (условный предел текучести σ₀₂ > 440 МПа), а также, если эксплуатация конструкций возможна и после развития пластической деформации, проверка несущей способности производится по формуле

где R_u – расчетное сопротивление стали, определенное по временному сопротивлению (см. табл. 2.3); γ_u = 1,3 – коэффициент надежности при расчете по временному сопротивлению; A_п – площадь сечения нетто с учетом возможных ослаблений отверстиями под болты или заклепки; для сварных конструкций A_п = А_вr.

Определяем требуемую площадь сечения нижнего пояса по максимальному усилию:

A_тр = N_max /(R_yγ_c) = 1300 / (24 ∙ 0,95) = 57,02 см².

Принимаем сечение из двух неравнополочных уголков, составленных узкими полками, ∟160×100×12, имеющих площадь сечения А = 30,04 ∙ 2 =

= 60,08 см² > A_тр = 57,02 см²; радиус инерции стержня в плоскости фермы i_x = 2,18 см; z_о= 2,36 см.

Проверяем растянутый пояса на прочность:

Проверяем гибкость в вертикальной плоскости (см. табл. 5.3):

λ_х = l_x/i_х = 600 / 2,18 = 275 < λ_и = 400.

Определяем площадь сечения по минимальному усилию

A_тр = N_min/(R_yγ_c) = 450 / (24 ∙ 0,95) = 19,74 см².

Принимаем сечение их двух неравнополочных уголков ∟100×63×7, составленных узкими полками, имеющих площадь сечения А = 11,09 ∙ 2 =

= 22,18 см² > A_тр = 19,74 см²; радиус инерции i_x = 1,37 см; z_о = 1,46 см.

Проверяем гибкость в вертикальной плоскости:

λ_х = l_x/i_х = 600 / 1,37 = 438 > λ_и = 400.

Нижний пояс по гибкости не проходит. Принимаем сечение их двух равнополочных уголков ∟90×90×7, имеющих площадь сечения

А = 12,28 ∙ 2 = 24,56 см² > A_тр = 19,74 см²; радиус инерции i_x = 2,77 см; z_о = 2,47 см.

Гибкость в вертикальной плоскости

λ_х = l_x/i_х = 600 / 2,77 = 217 < λ_и = 400.

Проверяем пояса на прочность:

Сечение удовлетворяет условиям прочности и предельной гибкости.

Пример 5.4. Подобрать сечение сжатого среднего раскоса фермы по расчетному усилию N = – 75 кН. Расчетные длины раскоса: из плоскости фермы l_y = l = 4300 мм; в плоскости фермы l_x = 0,8l = 0,8 ∙ 4300 = 3440 мм. Материал конструкций – сталь С245.

Сечение средних малонагруженных элементов решетки фермы, как правило, подбирается по предельной гибкости λ_и.

В соответствии с табл. 5.2 для сжатого раскоса λ_и = 210 – 60.

Предварительно принимаем коэффициент  = 0,75, тогда

λ_и = 210 – 60 ∙ 0,75 = 165.

Требуемые радиусы инерции:

– при расчете в плоскости фермы

i_x,тр = l_x/λ_и = 344 / 165 = 2,08 см;

– при расчете из плоскости фермы

i_у,тр = l_у /λ_и = 430 / 165 = 2,61 см.

По сортаменту принимаем сечение раскоса из двух равнополочных уголков ∟70×70×5, для которых i_x = 2,16 см > i_x,тр = 2,08 см;

см > i_у,тр,

где z_о= 1,9 см; a = t_ф = 14 мм; площадь сечения А = 2 ∙ 6,86 = 13,72 см².

Гибкости раскоса:

λ_x = l_x/i_x = 344 / 2,16 = 159 < λ_и = 165;

λ_у = l_у/i_у = 430 / 3,38 = 127 < λ_и.

Максимальная условная гибкость раскоса

при которой коэффициент устойчивости φ = 0,253,

Проверяем устойчивость раскоса:

где γ_c = 0,8 при λ ≥ 60 (см. табл. 1.3).

Сечение их двух уголков ∟70×70×5 подобрано неудачно и не удовлетворяет условию устойчивости. Принимаем сечение из двух уголков ∟75×75×5, для которых: А = 2 ∙ 7,39 = 14,78 см²; i_x = 2,31 см; z_о = 2,02 см; см.

Подсчитываем гибкости:

λ_х = l_x/i_x = 344 / 2,31 = 149;

λ_у = l_у /i_у = 430 / 3,57 = 120.

Наибольшая условная гибкость

Коэффициент устойчивости φ = 0,282.

Производим проверку раскоса на устойчивость:

Степень загруженности элемента α = 0,937.

Предельная гибкость

λ_и = 210 – 60α = 210 – 60 ∙ 0,937 = 154.

Проверяем гибкость стержня

λ_х = 149 < λ_и = 154.

Сечение из двух уголков ∟75×75×5 удовлетворяет условиям устойчивости и предельной гибкости.

Подбор сечений остальных элементов фермы произведен в табличной форме (табл. 5.8). Окончательно сечения элементов фермы приняты с учетом унификации калибров уголков.