§ 3. Структура математической модели

Математической моделью называют совокупность уравнений, условий и ограничений, описывающих функциони­рование элемента, узла или машины в целом.

Общая модель должна отражать следующие основные факторы: 1) работоспособность (взаимодействие с внешней средой и другими элементами); 2) энергетический баланс, коэффициенты полезного действия; 3) надежность (запасы прочности, долговечность); 4) экономическую эффективность (технологичность, стоимость производства и эксплуатации).

Например, при создании математической модели зубчатой передачи фактор работоспособности включает уравнение упру­гого контакта зубьев, уравнение равновесия и т. д.

Энергетический фактор содержит определение коэффициента полезного действия передачи.

Факторы надежности и экономической эффективности не требуют дополнительных пояснений.

Общая модель обычно содержит частные подмодели, от­ражающие отдельные факторы функционирования системы.

Структура математической модели в системе автоматизи­рованного проектирования показана на рис. 35.2.

Модель осуществляет преобразование входных параметров, отражающих условия нагружения, среды и т. д., в параметры выхода, характеризующие процессы и состояние самой системы.

Для пояснения блоков этой математической модели про­ектирования используем редуктор.

Для его модели входными параметрами могут быть:

1) требования к конструкции (сведения о потребности, прототип, усовершенствования действующих конструкций);

2) заданные параметры, в том числе параметры, прихо­дящие из модели более высокой системы — модели механизма (мощность, частота вращения, надежность, долговечность подшипников, материалы, средства обслуживания и др.); эти параметры являются не варьируемыми;

3) управляющие (внутренние) параметры, позволяющие осу­ществлять процесс оптимизации (число зубьев колес, ширина колес, передаточное отношение и др.).

Оптимизация осуществляется с помощью блока внутренней оптимизации. В этом блоке содержатся метод оптимизации, а также наиболее простые условия оптимизации (максимум КПД, минимум меж осевого расстояния или массы); эти па­раметры являются варьируемыми.

Важную роль играет блок ограничений, устанавливающий начальные значения варьируемых параметров, ширину шага варьирования, область поиска.

Блоки преобразования содержат блоки и модули, каждый /из которых осуществляет отдельную физически определенную часть преобразования (например, расчет усилий в зацеплении, расчет геометрических параметров передачи, учет упругой де­формации колес и валов, жесткость валов и шпоночных соединений, расчет подшипников, расчет стоимости с учетом машинного времени и стоимости материалов и др.).

Модель содержит банк данных, хранящий необходимую информацию (например, подшипники, материалы и их харак­теристики, заготовки, крышки и кольца, винты и болты, шпонки и т. д.).

Имеется блок управления, воздействующий на управляющие параметры и осуществляющий переключение вариантов.

Модель включает блок выходных параметров, выдающий информацию (например, параметры зацепления, нагрузки, дав­ления, напряжения, рабочие чертежи, технологические карты, ведомость покупных изделий: подшипники, уплотнения и т. д., предварительная калькуляция: время обработки, стоимость, цифровая перфолента).

Модель содержит также блок визуализации, с помощью которого формируются изображения и графическая информация.

Все блоки модели связаны между собой, сама модель может являться частью более сложной модели.

Работа модели осуществляется по принципу последователь­ных приближений (итеративно). Сначала принимаются на­чальные значения управляющих параметров. Они вместе с за­данным параметром поступают в блок преобразований, где формируются параметры выхода. Выходные параметры на­правляются в блоки оптимизации и- ограничений, в которых вырабатываются указания об изменении исходных значений управляющих параметров. Далее переходят к следующему приближению, причем циклы продолжаются до завершения процесса оптимизации, о котором судят по критериям достаточности.

Окончательные результаты поступают в банк данных и на вход следующих моделей системы.

В заключение отметим, что в процессе проектирования создается большое число математических моделей отдельных процессов, элементов, узлов и т. п.

Для удобства программирования и общения модели услов­но делят на классы и уровни.

Класс модели определяется ее объемом (класс А — мо­дель изделия, класс Б — модель узла, класс В — модель де­тали).

Уровень модели характеризует глубину и полноту отобра­жения связей, существующих между параметрами входа и вы­хода. Для формирования моделей нулевого и первого уров­ней используется предшествующий опыт эксплуатации или простейшие теории (например, сопротивление материалов и др.). Модели более высоких уровней формируются на основе точных теорий (например, теории упругости, пластичности и др.).

В системе машинного проектирования целесообразно ис­пользовать модели нескольких уровней: более простые модели для предварительного отбора вариантов, более сложные — для формирования окончательной математической модели.