§ 2. Расчет витых цилиндрических пружин сжатия и растяжения

При центральном приложении силы F в любом поперечном сечении витка пружины возникает результиру­ющая внутренняя сила F, параллельная оси пружины, и мо­мент Т= F плоскость которого совпадает с плоскостью

пары сил F (рис. 34.7, а). Нормальное поперечное сечение витка наклонено к плоскости момента на угол а. Проектируя на оси х, у и z, связанные с нормальным сечением витка, силу F и момент Т, получим (см. рис. 34.7, б)

F_r = F cos α; F_n = F sin α; T= M_z = F cos а;, М_х = F sin а. (34.1)

Ввиду малости угла подъема витков (обычно а<10/12°) можно счи­тать, что сечение пружины

Рис. 34.7. Силовые факторы в сечении нагруженной пружины

работает на кручение, пренебрегая остальными силовыми фак­торами.

Максимальное касательное напряжение

где W_K — момент сопротивления сечения вала кручению.

С учетом кривизны витков и равенства (34.1) соотноше­ние (34.2) примет вид

(34.3)

где F — внешняя нагрузка (растягивающая или сжимающая); D_o — средний диаметр пружины; к — коэффициент, учитываю­щий кривизну витков и форму сечения (поправка к форму­ле для кручения прямого бруса); [τ]_к — допускаемое каса­тельное напряжение при кручении.

Коэффициент к для пружин из круглой проволоки при индексе с > 4 можно вычислить по формуле

Отметим, что в формуле для коэффициента к, вытекающей из соотношения (11.17) кривизна витков не учитывается.

Если пружина навита из круглой проволоки, то W_K сов­падает с полярным моментом сопротивления, и тогда

(34.4)

Осевое перемещение пружины с углом подъема α < 12°

δ = λ_nF,

где λ._п — осевая податливость пружины.

Податливость пружины наиболее просто определяется из энергетических соображений.

Потенциальная энергия пружины

где Т — крутящий момент в сечении пружины от силы F;

GJ_k — жесткость сечения витка на кручение; l ≈ πD_on — полная длина рабочей части витков; откуда

(34.5)

(34.6)

где λ - осевая податливость одного витка (осадка в мм при действии F = 1Н).

Осевая податливость одного витка

(34.7)

Для пружины из круглой проволоки J_K = Jp= , и тогда формула (34.7) примет вид

(34.8)

где G — модуль сдвига; G (Е — модуль упругости материала пружины).

Из формул (34.6) и (34.8) следует, что податливость пру­жины возрастает при увеличении числа витков (длины пру­жины), индекса пружины (наружного диаметра) и уменьшении модуля сдвига ее материала.

Расчет пружины начинают обычно с определения диаметра проволоки из условия прочности (34.4) при заданном зна­чении индекса с:

^(34.9)

где F₂ — наибольшая внешняя нагрузка.

Допускаемые напряжения для пружин из сталей 60С2, 60С2Н2А и 50ХФА принимают: [τ_к] = 750 МПа - при дей­ствии статических или медленно изменяющихся переменных нагрузок, а также для пружин неответственного назначения; [τ = 400 МПа — для ответственных динамически нагружен­ных пружин. Для динамически нагруженных ответственных пружин из бронзы назначают [τ_к] = (0,2/0,3) σ_в; то же, для неответственных пружин — [τ_к] = (0,4/0,6) σ_B.

Рис. 34.8. Характеристика пру­жины сжатия

Необходимое число ра­бочих витков определяют из соотношения (34.5) по заданному упругому пере­мещению {ходу) пружины δ. Если пружина сжатия установлена с предвари­тельной затяжкой (на­грузкой) F_l то

⁽³⁴.¹⁰⁾

В зависимости от назначения пружины усилие F₁ = (0,1/0,5) F₂. Изменением величины F₁ можно регулировать рабо­чую осадку пружины δ.

Число витков округляют до полувитка при п <20 и до одного витка при n > 20.

Полное число витков

n₁ = n + (1,5/2,0).

Дополнительные 1,5 — 2 витка идут на поджатие для соз­дания опорных поверхностей у пружины.

На рис. 34.8 показана зависимость между нагрузкой и осадкой пружины сжатия.

Полная длина ненагруженной пружины

H₀ = H₃ + n(t-d), (34.11)

где Н₃ — длина пружины, сжатой до соприкосновения сосед­них рабочих витков;

H₃ = (n_l -0,5)d.

Полное число витков уменьшено на 0,5 из-за сошлифов-ки каждого конца пружины на 0,25d для образования плоского опорного торца.

Для того чтобы витки пружины пришли в соприкосно­вение, ее следует осадить (сжать) на величину (см. рис. 34.8)

В равенстве (34.11) t — шаг пружины, находится в зави­симости от наибольшей осадки пружины

Длина проволоки, необходимая для изготовления пружины:

где α — угол подъема витков ненагруженной пружины, α = 6/9°. Для предотвращения выпучивания пружины от потери устойчивости ее гибкость должна быть менее 2,5.

Если по конструктивным соображениям это ограничение не выполняется, то пружину, как указано выше, следует ставить на оправках или монтировать в гильзах.

Установочная длина пружины (после затяжки ее усилием F₁ см. рис. 34.8)

H₁= H_о - δ₁ = Н_о - nλF₁; длина пружины при действии наибольшей внешней нагрузки

H₂= H_о – δ₂ = Н_о - nλF₂

и наименьшая длина пружины будет при усилии F₃, соот­ветствующем [τ_к]:

H₃= H_о – δ₃ = Н_о -

Угол наклона прямой F =f(δ ) к оси абсцисс на рис. 34.8

При больших нагрузках и стесненных габаритах исполь­зуют составные пружины сжатия (см. рис. 34.5) — набор из нескольких (чаще двух) концентрически расположенных пру­жин, одновременно воспринимающих внешнюю нагрузку. Для предотвращения сильного закручивания торцовых опор и пере­косов навивку соседних пружин выполняют в противополож­ных направлениях (левом и правом). Опоры выполняют так, чтобы обеспечивалась взаимная центровка пружин.

Обычно составные пружины имеют одинаковые осадки (осевые перемещения). При их проектировании стремятся к то­му, чтобы длины пружин, сжатых до соприкосновения витков, были приблизительно одинаковы, а наибольшие каса­тельные напряжения у всех пружин были равны допускаемо­му.

Длина пружин растяжения в ненагруженном состоянии

H₀ = nd + 2h₃,

где h₃ — высота одного зацепа, h₃ = (0,5/1,0) D_o.

Длина пружины при максимальной внешней нагрузке

H₂=H₀ + nλ(F₂-F_l),

где F₁ — усилие первоначального сжатия витков при навивке. Длина проволоки для изготовления пружины

L= +2l₃ ≈ 3,3D_on + 2l₃;

здесь 1₃ — длина проволоки для одного прицепа.

Получили распространение многожильные пружины, при изготовлении которых вместо одной проволоки используется трос, свитый из двух — шести проволок малого диаметра (d = 0,8/2,0) мм. По конструктивному решению такие пру­жины эквивалентны концентрическим пружинам.

Благодаря высокой демпфирующей способности (за счет трения между жилами) и податливости многожильные пру­жины хорошо работают в амортизаторах и других подоб­ных устройствах.

При действии переменных нагрузок многожильные пружи­ны быстро выходят из строя вследствие износа жил.

В конструкциях, работающих в условиях вибраций и удар­ных нагрузок, иногда применяют фасонные пружины (см. рис. 34.1, г — е) с нелинейной зависимостью между внешней силой и упругим перемещением пружины.

Оценку статической и усталостной прочности пружин про­изводят по запасам прочности (см. с. 263).

Запас прочности по пластическим деформациям п_т > 1,3, запас прочности при работе в условиях переменных напря­жений n = 1,2/2,2.