6.3.Закон нормального розподілу

Теоретичне обґрунтування закону нормального розподілу дано в теоремі Ляпунова – центральній теоремі теорії ймовірностей.

«Якщо випадкова величина Х представляє велику суму взаємонезалежних величин х₁,х₂. х₃…..х_n, і вплив кожної з них на усю суму мізерно малий, то незалежно від того, якому закону підкоряється кожна складова, сума величин буде мати розподіл ймовірностей близький до нормального».

Результатна похибка механічної обробки представляє собою суму великого числа похибок, залежних від системи ВПІЗ, які по суті являються взаємонезалежними випадковими величинами, серед яких відсутні домінуючи Ця умова і спричиняє те, що закон нормального розподілу похибок широко

застосовується в машинобудуванні.

рис.13.Крива нормального розподілу

Рівняння кривої нормального розподілу (рис.13)

де – щільність ймовірностей або диференціальна функція

– середньоквадратичне відхилення

– середня випадкова величина

Як видно з графіка, крива розподілу має симетричний вигляд. Максимальна ордината кривої, яка відповідає точці з абсцисою , визначається за формулою: .

В міру віддалення точки з координатою , гілки кривої симетрично низ спадають і в точках А і В, які розташовані на відстані по вісі абсцис від вершини кривої, мають перегини з ординатами

При нормальному законі розподілу випадкова величина може приймати любе значення .

Виникнення випадкової величини Р буде:

Зробимо заміну: ; і змінимо межі ; , тоді вірогідність . Функція є функцію Лапласа , (Додаток3)

Так як гілки кривої ідуть від -∞ до +∞, то необхідно зону розсіяння обмежити кінцевими величинами. В техніці вважають, що зона може бути обмежена величиною яка дорівнює 6σ, тобто +3σ, -3σ від центру розсіяння.

У цьому випадку інтервал 6σ буде обмежений точками на абсцисі х₁ і х₂ .

Відповідно - ; + , тоді ;

Відповідно функції 2F(z) вірогідність Р під кривою розподілу, яка обмежена 6σ, буде складати 0.9373 ≈1, що складає похибку 0.27%