Дифференциальное уравнение массообмена в движущейся среде

Выделим в потоке движущейся среды параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, как показано на рисунке 3.4, ориентированными относительно осей координат. Рассмотрим материальный баланс по распределяемому веществу для параллелепипеда при установившемся массообмене.

Распределяемое вещество проходит сквозь грани параллелепипеда как путем конвективного переноса, так и путем молекулярной диффузии.

Обозначим концентрацию распределяемого вещества в плоскости левой грани параллелепипеда dydz через С и проекции скорости на оси координат для данного элемента (точки) потока через W_x, W_y, W_z, соответственно.

Рисунок 3.4 – К выводу дифференциального уравнения массообмена в движущейся среде

Тогда количество поступающего вещества только путем конвективного переноса через площадь dydz, т.е. в направлении оси x за время d составляет:

На противоположной грани параллелепипеда скорость в направлении оси x равна , концентрация распределяемого вещества составляет .

Следовательно, за время d через противоположную грань параллелепипеда выходит путем конвективного переноса количество вещества:

Разность между количеством вещества, прошедшего через противоположную грань параллелепипеда за время d в направлении оси x, равна:

Аналогично в направлении осей y и z получаем:

Таким образом, содержание распределяемого вещества в объеме параллелепипеда измениться за время d вследствие перемещения вещества только путем конвективного переноса на величину

или в развернутом виде

Согласно уравнению непрерывности потока можно записать:

Следовательно,

(3.18)

Количество распределяемого вещества, поступающего в параллелепипед только путем молекулярной диффузии через грань dydz за d в соответствии с уравнением молекулярной диффузии равно:

Количество вещества, выходящего за то же время путем молекулярной диффузии через противоположную грань, определяется как

Разность между количествами продиффундировавшего через противоположные грани параллелепипеда вещества в направлении оси x за d равна

Аналогично в направлении осей y и z получаем:

Количество распределяемого вещества в объеме всего параллелепипеда за время d измениться при переносе путем молекулярной диффузии, т.е.

Изменение количества распределяемого вещества за счет конвективного переноса в объеме параллелепипеда (его пополнение или убыль) должно компенсироваться соответственно отводом или подводом такого же количества вещества через грани параллелепипеда путем молекулярной диффузии, т.е. должно соблюдаться условие:

В противном случае, концентрация распределяемого вещества в любой точке параллелепипеда стала бы изменяться во времени, тогда как при установившемся процессе она является только функцией координат точки, т.е.

Таким образом,

и в соответствии с выражением для находим

(3.19)

или в краткой записи

Выражение (3.19) представляет собой дифференциальное уравнение концентрации компонентов в движущейся среде. Оно выражает закон распределения концентраций данного компонента в движущейся среде при установившемся процессе массообмена.

В этом уравнении, помимо концентрации, переменной является скорость потока. Поэтому данное уравнение надо рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями гидродинамики: уравнениями Навье-Стокса и уравнениями неразрывности.