Дифференциальное уравнение теплопроводности

Выделим в однородном и изотропном теле параллелепипед с объемом dV с ребрами dx,dy,dz (рисунок 4.2).

Физические свойства тела: теплоемкость(с), плотность (р), теплопроводность (λ одинаковы во всех точках).

Температура на левой грани равна t, на правой грани с учетом изменения (с учетом градиента)

Количество тепла, входящее в параллелепипед через его грани за промежуток времени dτ, в соответствии с законм Фурье равно:

по оси х через грань dydz

по оси у через грань dxdz

по оси z через грань dxdy

Рисунок 4.2 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени, определяется следующим образом:

по оси х:

по оси у:

по оси z:

Учитывая, что часть теплоты расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда, ее можно выразить через разность:

по оси х:

по оси у

по оси z

Просуммируем количество теплоты во всем объеме за промежуток времени dτ. Тогда получим:

По закону сохранения энергии количество теплоты, необходимое для уменьшения энтальпии равно:

где - представляет собой изменение температуры параллелепипеда

за промежуток времени dτ. Приравняем полученные выражения и, разделив переменные, получим:

Обозначим тогда

(4.5)

Коэффициент а в уравнении (4.5) носит название температуро-проводности и характеризует инерционные свойства тела. Коэффициент а

имеет размерность

При установившемся процессе , тогда а²t = 0,

но а ≠ 0, следовательно

(4.6)

Уравнение (4.6) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.