Теплопроводность плоской стенки

Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую стенку ( рисунок 4.3 ), длина и ширина которой безгранично велики по сравнению с ее толщиной; ось х расположена по нормали к поверхности

стенки, т.е. , . Температуры наружных поверхностей стенки

равны t_ст1 и. t_ст2 причем t_ст1 > t_ст2 . Режим установившийся.

Рисунок 4.3 - К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

На основании уравнения теплопроводности, учитывая, что и , уравнение теплопроводности плоской стенки будет иметь вид:

(4.7)

Интегрирование этого уравнения приводит к функции

t = С₁х + С₂, (4.8)

где С₁ и С₂ - постоянные интегрирования.

Уравнение (4.8) показывает, что по толщине стенки температура изменяется по линейному закону.

Постоянные С₁ и С₂ определяются, исходя из следующих граничных условий:

при х = 0 величина t = С₂, если t = t _ст1 , то C₂ = t _ст1;

при х = δ величина t = t_ст2., тогда t_ст2, = С₁ δ+ С₂. При этом получаем:

Подставим значения С₁ и С₂ в уравнение (4.8), тогда

и

Полученное выражение температурного градиента подставим в уравнение теплопроводности (уравнение Фурье).

или

(4.9)

Для непрерывного процесса τ= 1.

Уравнение (4.9) принимает вид:

(4.10)

Уравнение (4.10) является уравнением теплопроводности плоской стенки при установившемся процессе теплообмена.

Если плоская стенка состоит из п слоев, отличающихся друг от друга теплопроводностью и толщиной (см. рисунок 4.4), количество теплоты, проходящее через такую стенку, определяется как

(4.11)

где i - порядковый номер слоя;

n - число слоев.

Рисунок 4.4 - К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки.