15. Стандартное прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление. Устройство и кинематика

Прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление изо­бретено Л. Эйлером и является основой для понимания устройства и рабо­ты других одноступенчатых зубчатых передач с неподвижными осями ко­лес. Рассмотрим это зацепление с необходимыми подробностями.

Элемент зацепления - колесо имеет форму цилиндра, на боковой по­верхности которого с равным угловым шагом нарезаны одинаковые по форме зубья. В сечении плоскостью, перпендикулярной оси вращения коле­са, зубья располагаются между двумя концентрическими окружностями -впадин диаметром df и выступов диаметром d_a. Между ними располага­ется делительная окружность, которая делит зуб на головку и ножку. Дли­на этой окружности:

С = KXd = pх z,

где р - делительный окружной шаг зубьев [мм ];

z - число зубьев. Отсюда делительный диаметр:

pX z

d = — = m х z, (5.1)

7

_p

где m = модуль - рациональное число [мм]. Модуль по делительной

7

окружности - стандартная величина.

Через модуль выражаются все линейные размеры нулевого (некорри-гированного) зубчатого колеса.

Делительный диаметр определяют по формуле (5.1).

Шаг зуба определяют как

p = 77m.

Толщина зуба по делительной окружности S и ширина впадины /:

S = / = 0,5 p.

Высота головки зуба h_a и ножки hf составляют: h_a = h¹*- m; hf = (ha* + c* )m,

где для колес общего машиностроения коэффициент высоты головки зуба h*= 1,0, с* = 0,25 - коэффициент радиального зазора.

Таким образом, диаметры окружностей выступов и впадин колеса

составляют:

Боковой профиль зуба колеса - эвольвентный. Эвольвенту описывает точка М (рис. 5.1), закрепленная на прямой МК (воспроизводящая прямая), при качении без проскальзывания этой прямой по неподвижной окружно­сти (основная окружность).

т

Но

т

Рис. 5.1. Схема образования боковой поверхности эвольвентного зуба

Из кинематики следуют основные свойства эвольвенты:

1. Эвольвента расположена вне основной окружности (внутри ее не может быть).

2. Отрезок МК является радиусом кривизны эвольвенты в произ­вольной точке М и ее нормалью в этой точке. Отрезок М₁К₁, проведенный через любую точку М₁ эвольвенты касательно к основной окружности, яв­ляется радиусом кривизны эвольвенты в точке М₁.

3. Нормаль к эвольвенте в любой точке М₁ касается основной окруж­ности в точке К₁.

4. Эвольвента - разворачивающаяся кривая, поскольку радиус кри­визны MK = r_b х tga по мере возрастания a неограниченно увеличивается

(a - угол развернутости эвольвенты в точке М), г_в - радиус основной ок­ружности.

Получим уравнение эвольвенты:

иМ₀ K = (MK)_;

или

r_b х (a + 6) = r_b х tga,

откуда

6 = tga - a = inva (5.2)

инволюта a (inv a) - табличная функция, а 0 - эвольвентная функция угла а. Из рис. 5.1 полярный радиус:

р= OM

cos a

(5.3)

Выражения (5.2) и (5.3) - параметрические (параметр a) уравнения эвольвентного профиля в полярных координатах с полярной осью M₀O и полярным (эвольвентным) углом 6 .

5. При возрастании Гь радиус кривизны эвольвенты МК увеличивает­ся при любых a, а при Гь = ¥ он составляет MK = ¥,

Таким образом, у зубчатой рейки боковая поверхность эвольвентно­го зуба очерчена прямой. Это имеет большое значение при конструирова­нии зуборезного инструмента.

Зубчатые передачи пришли на смену фрикционным (рис. 5.2).

ю₁

0% С0₂

передаточное отношение от ведущего колеса 1 (шестерни) к

ведомому колесу (называется колесом):

^rw2 _

const,

^rw1

если радиусы r_w1 и r_w2 не изменяются.

Передаточное отношение - отношение угловых скоростей - являет­ся основным кинематическим параметром любой передачи. Оно показыва­ет, сколько оборотов нужно сделать ведущему колесу для одного оборота ведомого колеса, либо во сколько раз передача снижает обороты.

Во фрикционной передаче, чтобы передать значительные мощности, необходима большая сила прижатия катков Q. Но сила Q ограничена кон­тактной прочностью материалов в точке К.

В зубчатых передачах не требуется большой силы Q, т. к. передача уси­лия осуществляется боковыми поверхностями зубьев (а не за счет сил трения).

У зубчатых колес окружности радиусов r_wl и являются вообра­жаемыми; их называют начальными. Эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами в относительном вра­щении. Введем в зацепление два эвольвентных профиля (рис. 5.3). К -точка контакта эвольвентных профилей зубьев.

Зацепление за пределами линии NN

n

Рис. 5.3. Кинематика эвольвентного зацепления

Эвольвенты - гладкие прямые, т. е. имеют общую касательную и об­щую нормаль. Две полунормали к ним в точке К касаются основных ок­ружностей и являются общей нормалью к эвольвентам в точке их касания. Перпендикуляры ON и O2N2 - радиусы r_bl и r_hl основных окружностей.

Вдоль общей нормали N1N2 передаются силы между зубьями. Общая нормальная скорость:

V_n =WiX (ON) = W2 х (O2 N2) направлена по линии зацепления N₁ N₂.

Отсюда:

^1-2 Ш2 O_lN_l r_bl ' Но, из подобия прямоугольных треугольников 0\TJNi и 0₂IIN₂ следует:

O2N2 = ₌щ = _U

on on w ¹²'

Поэтому:

1. Точка П - полюс зацепления (О1Я и 0₂П - начальные радиусы r_w1 и r_w2 колес).

2. Чтобы боковые профили зубьев обеспечивали постоянство пере­даточного отношения, общая нормаль к ним в точках зацепления должна проходить через полюс зацепления П (основной закон зацепления).

3. Передаточное отношение определяется отношением ^JLL, и не меняется, если

r_{b 2}

-^b2- = const.

4. С изменением межосевого расстояния в беззазорном эвольвентном зацеплении меняется лишь угол зацепления a _w.

Для нулевых колес a₀ = 20°. По условию, что шаги (модули) как и

распределение шага между толщиной выступа и шириной впадины по на­чальным окружностям должны быть одинаковы, на роль последних могут претендовать лишь делительные окружности. Поэтому:

_U = ^r_bl_ = ^0,5 X ^2 = ^m X ^2 = jf2

^{1 2} r_b1 0,5 X d₁ m X z₁ z₁

Передаточному отношению пары колес приписывают знак: «+» - вращаются в одном направлении (при внутреннем зацеплении); «-» - вращаются в противоположных направлениях (при внешнем зацеплении).

При зацеплении боковых поверхностей зубьев, точка их контакта пе­ремещается по общей касательной к основным окружностям колес, кото­рая называется линией зацепления. Кинематически передача движения от одного эвольвентного зуба к другому аналогична передаче его нерастяжи­мой нитью с катушки радиусом r_b1 на катушку радиуса r_b2. Вдоль этой ни­ти передаются усилия, как и по линии зацепления. При изменении межосе­вого расстояния передаточное отношение не изменяется, т.к. радиусы «ка­тушек» при этом не изменяются, но изменяется наклон «нити» к линии межосевого расстояния О\О₂ (т.е. изменяется угол зацепления а).