56. Кинематика манипулятора по методу преобразования координат [24]

Предварительно рассмотрим вопросы преобразования вектора. Вектор l_a в системе координат «а» можно представить так:

^la = *a ' ^X + ^ja ^ ^Y + ^ka ^ ^{Z ,}

где X, Y, Z - проекции вектора l_a на оси системы «а», i, j,k - единичные орты этой системы. Проекция вектора l_a на ось X системы « b » вычисляется как:

Zo Zi

Рассмотрим кинематику универсального манипулятора (рис. 9.14).

Z3

^j7 J6 ^Zl

Yo

Рис. 9.14. Кинематика универсального манипулятора

Обозначим: M₁₀, М₂₀ и М₃₀ - матрицы перехода (поворота) из систе­мы координат, связанной с рассматриваемым звеном, в систему абсолют­ных координат X0, Y0, Z0. Очевидно:

M 20 = M 21 x М_ш

Столбцовые матрицы упрощаются, если оси Z_{ направить вдоль

звеньев.

Для рис. 9.14 имеем:

т_с=^l1+¹2+^

x М

Решение матриц - стандартная задача для ЭВМ. С помощью ЭВМ решают как прямую, так и обратную задачи.

Средствами кинематики решаются прямая и обратная задачи [23], т.е.:

1. задача о позиционировании: известны обобщенные координаты ф₁, ф₂, и т.д. Требуется найти положение схвата X, Y, Z;

2. задача об управлении (обратная задача). Найти обобщенные коор­динаты ф₁, ф₂, и т.д., если известны координаты схвата X, Y, Z.

Обобщенные координаты изменяются по программам, заложенным в устройство управления, а исполнительными органами являются различные двигатели (шаговые, постоянного тока, пневматические и др.)

Наиболее просто вопросы кинематики решаются для промышленных роботов, степень подвижности которых - не более трех. Рассмотрим пример. На рис. 9.12 изображен трехподвижный манипулятор ПВП промышленного робота; x(t), z(t), и ф(0 - его обобщенные координаты, а X_E(t), Y_E(t), и Z_E(t) -координаты точки Е схвата в декартовой системе. Из рис. 9.12 имеем:

Ze = z (t)

X_E = x(t) • sin j(t)

Ye = y(t) • cos j(t)

Дифференцируя X_E, Y_E, Z_E по t, находим проекции скоростей схвата на оси координат.

Координаты X_E, Y_E, и Z_E схвата в других схемах манипуляторов про­мышленных роботов находят аналогично.

Так решается прямая задача.

58. Обратная задача обычно решается слож­нее: пусть требуется для схемы (рис. 9.12) обеспечить движение схвата по прямой АС (рис. 9.13). Предположим, что прямая АС рас­положена горизонтально. Тогда z(t) = const.

Уравнение прямой АС представим в нормальной форме:

y ■ sin a + x ■ cos a - h = 0,

где h и a - длина нормали и ее угол с осью х; S(t) - известная функция положения схвата на прямой АС.

Обобщенные координаты X(t) и pp(t)

находим из треугольника ВЕТ:

x(t) = 7S(t)² + h² , j(t) = arctg ^S(t)

h