59. Динамика манипуляторов

Промышленные манипуляторы переносят грузы со значительной массой. Поэтому определение реакций в кинематических парах и нагрузок в звеньях имеет большое значение. Для динамического исследования ма­нипулятора применяют уравнение Лагранжа II-го рода, составляя одно уравнение для каждой степени свободы. В результате решения систем уравнений Лагранжа находят обобщенные ускорения. Затем, используя принцип Даламбера, рассматривают равновесие звеньев и групп с нулевой степенью подвижности.

Приводим пример динамического исследования манипулятора ВПП (рис. 9.15).

За обобщенные координаты примем цилиндрические координаты центра масс схвата с грузом S₃ (j, R, z). Кинетическая энергия манипуля­тора при неподвижном основании и уравновешенном звене 1:

т=I

2

(J₁ + J₂)" j² + ^m₂ • S² • j² + m₃ • R² • j² + m₃ • R² + (m₂ + m₃)• Z²

где J₁ и J₂ - моменты инерции звеньев 1 и 2 относительно оси Z и оси, проходящей через центр масс S₂ параллельно оси Z;

m₂ и m₃ - массы звеньев 2 и 3;

S - расстояние от оси Z до центра масс звена 2.

Уравнение движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа II рода: d⁽ЭТ^ ЭТ

— т т- = Q ^; i =^{1, 2, 3, (9.2)}

dt у dq_i J aq_i

где q1 = ф; q2 = z; q3 = R.

Обобщенные силы Q_t определяем, считая, что поступательные при­воды звеньев 2 и 3 (например гидроцилиндры), расположены на подвиж­ных звеньях и создают движущие силы F₂ и F₃, а вращательный привод звена 1 создает движущий момент пары сил М₁. Кроме того, учитываем силы тяжести звеньев G₁, G₂ и силы трения F_T2, F_T3 в парах 1-2 и 2-3. Мо-

мент сил трения во вращательной паре М_Т1 считаем постоянным и извест­ным из опытных данных. Для случая движения звена 2 вверх и звена 3 от оси Z имеем:

Q = M_X-M_Tl, Q2 = F2 -F_T2 -G2 -G3; Q3 = F3 -F₇

Производя подстановки в уравнения (9.2), после дифференцирования получаем три дифференциальных уравнения 2-го порядка:

m₃R - m₃R ■ ф² = F₃ - F_T3;

Закон изменения координаты Z легко устанавливается из второго уравнения, а для определения координат ф и R имеем систему двух нели­нейных дифференциальных уравнений второго порядка, которая обычно решается численными методами на ЭВМ. Решение используют для управ­ления и определения реакций.

Считая реакцию F_2-3 проходящей через центр масс S₃, для звена 3 со­ставляем три уравнения равновесия в проекциях на оси X₃, Y₃, Z₃. Для звена 2 получаем шесть уравнений кинетостатики в проекциях на оси X₂, Y₂, Z₂. Для звена 1 при составлении уравнений движения потребуется лишь одно уравнение моментов относительно оси z.

3