15. Стандартное прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление. Устройство и кинематика
Прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление изобретено Л. Эйлером и является основой для понимания устройства и работы других одноступенчатых зубчатых передач с неподвижными осями колес. Рассмотрим это зацепление с необходимыми подробностями.
Элемент зацепления - колесо имеет форму цилиндра, на боковой поверхности которого с равным угловым шагом нарезаны одинаковые по форме зубья. В сечении плоскостью, перпендикулярной оси вращения колеса, зубья располагаются между двумя концентрическими окружностями -впадин диаметром df и выступов диаметром da. Между ними располагается делительная окружность, которая делит зуб на головку и ножку. Длина этой окружности:
С = KXd = pх z,
где р - делительный окружной шаг зубьев [мм ];
z - число зубьев. Отсюда делительный диаметр:
pX z
d = — = m х z, (5.1)
7
p
где m = модуль - рациональное число [мм]. Модуль по делительной
7
окружности - стандартная величина.
Через модуль выражаются все линейные размеры нулевого (некорри-гированного) зубчатого колеса.
Делительный диаметр определяют по формуле (5.1).
Шаг зуба определяют как
p = 77m.
Толщина зуба по делительной окружности S и ширина впадины /:
S = / = 0,5 p.
Высота головки зуба ha и ножки hf составляют: ha = h1*- m; hf = (ha* + c* )m,
где для колес общего машиностроения коэффициент высоты головки зуба h*= 1,0, с* = 0,25 - коэффициент радиального зазора.
Таким образом, диаметры окружностей выступов и впадин колеса
составляют:
Боковой профиль зуба колеса - эвольвентный. Эвольвенту описывает точка М (рис. 5.1), закрепленная на прямой МК (воспроизводящая прямая), при качении без проскальзывания этой прямой по неподвижной окружности (основная окружность).
т
Но
т
Рис. 5.1. Схема образования боковой поверхности эвольвентного зуба
Из кинематики следуют основные свойства эвольвенты:
Эвольвента расположена вне основной окружности (внутри ее не может быть).
Отрезок МК является радиусом кривизны эвольвенты в произвольной точке М и ее нормалью в этой точке. Отрезок М1К1, проведенный через любую точку М1 эвольвенты касательно к основной окружности, является радиусом кривизны эвольвенты в точке М1.
Нормаль к эвольвенте в любой точке М1 касается основной окружности в точке К1.
Эвольвента - разворачивающаяся кривая, поскольку радиус кривизны MK = rb х tga по мере возрастания a неограниченно увеличивается
(a - угол развернутости эвольвенты в точке М), гв - радиус основной окружности.
Получим уравнение эвольвенты:
иМ0 K = (MK);
или
rb х (a + 6) = rb х tga,
откуда
6 = tga - a = inva (5.2)
инволюта a (inv a) - табличная функция, а 0 - эвольвентная функция угла а. Из рис. 5.1 полярный радиус:
р= OM
cos a
(5.3)
Выражения (5.2) и (5.3) - параметрические (параметр a) уравнения эвольвентного профиля в полярных координатах с полярной осью M0O и полярным (эвольвентным) углом 6 .
5. При возрастании Гь радиус кривизны эвольвенты МК увеличивается при любых a, а при Гь = ¥ он составляет MK = ¥,
Таким образом, у зубчатой рейки боковая поверхность эвольвентного зуба очерчена прямой. Это имеет большое значение при конструировании зуборезного инструмента.
Зубчатые передачи пришли на смену фрикционным (рис. 5.2).
ю1 Ю2
0% С02
передаточное отношение от ведущего колеса 1 (шестерни) к
ведомому колесу (называется колесом):
rw2 _
const,
rw1
если радиусы rw1 и rw2 не изменяются.
Передаточное отношение - отношение угловых скоростей - является основным кинематическим параметром любой передачи. Оно показывает, сколько оборотов нужно сделать ведущему колесу для одного оборота ведомого колеса, либо во сколько раз передача снижает обороты.
Во фрикционной передаче, чтобы передать значительные мощности, необходима большая сила прижатия катков Q. Но сила Q ограничена контактной прочностью материалов в точке К.
В зубчатых передачах не требуется большой силы Q, т. к. передача усилия осуществляется боковыми поверхностями зубьев (а не за счет сил трения).
У зубчатых колес окружности радиусов rwl и являются воображаемыми; их называют начальными. Эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами в относительном вращении. Введем в зацепление два эвольвентных профиля (рис. 5.3). К -точка контакта эвольвентных профилей зубьев.
Зацепление за пределами линии NN
n
Рис. 5.3. Кинематика эвольвентного зацепления
Эвольвенты - гладкие прямые, т. е. имеют общую касательную и общую нормаль. Две полунормали к ним в точке К касаются основных окружностей и являются общей нормалью к эвольвентам в точке их касания. Перпендикуляры ON и O2N2 - радиусы rbl и rhl основных окружностей.
Вдоль общей нормали N1N2 передаются силы между зубьями. Общая нормальная скорость:
Vn =WiX (ON) = W2 х (O2 N2) направлена по линии зацепления N1 N2.
Отсюда:
1-2 Ш2 OlNl rbl ' Но, из подобия прямоугольных треугольников 0\TJNi и 02IIN2 следует:
O2N2 = =щ = U
on on w 12'
Поэтому:
Точка П - полюс зацепления (О1Я и 02П - начальные радиусы rw1 и rw2 колес).
Чтобы боковые профили зубьев обеспечивали постоянство передаточного отношения, общая нормаль к ним в точках зацепления должна проходить через полюс зацепления П (основной закон зацепления).
Передаточное отношение определяется отношением JLL, и не меняется, если
rb 2
-b2- = const.
4. С изменением межосевого расстояния в беззазорном эвольвентном зацеплении меняется лишь угол зацепления a w.
Для нулевых колес a0 = 20°. По условию, что шаги (модули) как и
распределение шага между толщиной выступа и шириной впадины по начальным окружностям должны быть одинаковы, на роль последних могут претендовать лишь делительные окружности. Поэтому:
U = r_bl_ = 0,5 X ^2 = m X ^2 = jf2
1 2 rb1 0,5 X d1 m X z1 z1
Передаточному отношению пары колес приписывают знак: «+» - вращаются в одном направлении (при внутреннем зацеплении); «-» - вращаются в противоположных направлениях (при внешнем зацеплении).
При зацеплении боковых поверхностей зубьев, точка их контакта перемещается по общей касательной к основным окружностям колес, которая называется линией зацепления. Кинематически передача движения от одного эвольвентного зуба к другому аналогична передаче его нерастяжимой нитью с катушки радиусом rb1 на катушку радиуса rb2. Вдоль этой нити передаются усилия, как и по линии зацепления. При изменении межосевого расстояния передаточное отношение не изменяется, т.к. радиусы «катушек» при этом не изменяются, но изменяется наклон «нити» к линии межосевого расстояния О\О2 (т.е. изменяется угол зацепления а).
- 3. Классификация машин
- 4. Производительность технологических машин
- 5. Машинный агрегат. Общее устройство
- 6. Движущий и рабочий органы машин
- 6. Передаточный механизм и его составляющие
- 7. Строение механизмов. Классификация звеньев
- 7. Подвижность механизмов
- 15. Стандартное прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление. Устройство и кинематика
- 17. Качественные показатели прямозубого (эвольвентного) зубчатого зацепления
- 18. Способы изготовления прямозубых эвольвентных цилиндрических зубчатых колес. Способ обката
- 20. Червячная передача
- 19. Многоступенчатые зубчатые механизмы с неподвижными осями колес
- 21. Эпициклические механизмы и передачи
- 22. Планетарные зубчатые механизмы. Кинематика и синтез
- 10. Плоские рычажные механизмы. Виды, свойства, модификации
- 12. Алгебраический синтез рычажных механизмов
- 13. Графоаналитический синтез рычажных механизмов по коэффициенту производительности
- 30. Назначение и краткие характеристики
- 34. Связь основных размеров
- 36. Профилирование кулачка
- 39. Аналитический метод исследования движения главного вала.
- 40. Определение закона движения главного вала при помощи диаграммы энергомасс
- 41. Регулирование движения машинного агрегата. Постановка задачи и ее решение
- 43. Предварительная оценка масс и структуры энергозатрат машин
- 44. Силовое исследование машин
- 45. Определение закона движения главного вала
- 46. Определение сил, моментов и сил инерции
- 47. Трение в кинематических парах
- 48. Уравновешивание роторов
- 51. Уравновешивание механизмов
- 52. Защита введением дополнительного колебательного контура
- 53. Общее устройство. Три поколения роботов
- 54. Основные технические характеристики манипуляторов
- 55. Синтез манипулятора промышленного робота по размерам и форме зоны обслуживания
- Коэффициент сервиса
- 56. Кинематика манипулятора по методу преобразования координат [24]
- 59. Динамика манипуляторов