3. Типовые динамические звенья сар

Основными задачами теории автоматического регулирования являются:

1. Исследование имеющейся САР (анализ САР);

2. Проектирование САР по заданным требованиям (синтез САР).

В целом САР представляет собой сложную динамическую систему. Математической моделью такой системы являются дифференциальные уравнения высоких порядков, устанавливающие связь управляющих, возмущающих и выходных воздействий системы и их зависимость от времени. Составление и решение таких уравнений трудоемкая математическая задача.

При решении задач анализа и синтеза САР автоматическая система разбивается на отдельные части - динамические звенья - свойства которых известны или могут быть достаточно легко определены. Математическая зависимость между входными и выходными величинами и временем для таких звеньев описываться дифференциальными уравнениями не выше II-го порядка.

Примечание. В отличие от элемента динамическое звено необязательно является конструктивно- или схемно-законченной частью системы. Одному элементу (например, исполнительному двигателю) может соответствовать несколько динамических звеньев.

Рис. 1.6. Динамическое звено

Для упрощения записи дифференциальных уравнений в ТАР используют операторную форму. Уравнения в операторной форме получают путем формальной замены знака дифференцирования dt оператором Лапласа p. Такая замена позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования более простыми алгебраическими операциями умножения и деления на оператор p:

При этом временная функция x(t), называемая оригиналом, преобразуется в функцию новой переменной x(p), называемую изображением.

На практике переход от оригиналов к изображениям и обратно производится по таблицам изображений типовых функций (таблицам преобразований Лапласа), вычисленных по формуле Лапласа-Карсона:

где e – основание натурального логарифма; x(t) – исходная функция времени.

Для величин, не зависящих от времени x(t) = const, изображение можно определить как

Передаточной функцией звена называется отношение изображения сигнала на выходе звена y(p) к изображению сигнала на входе того же звена x(p) при нулевых начальных условиях:

Переходной характеристикой называется зависимость выходного сигнала от времени при подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия.

Такая функция, обозначаемая 1(t), в момент времени t = 0 мгновенно возрастает от 0 до 1 и затем остается постоянной:

Рис. 1.7. Единичный скачок

Примечание. Изменение режима работы САР может происходить за счет разнообразных воздействий. При анализе и синтезе САР применяются и другие типовые функции:

• единичный импульс;

• гармоническое воздействие;

• воздействие, непрерывно возрастающее с постоянной скоростью.

Все реальные элементы САР можно разбить в основном на шесть групп, называемых типовыми динамическими звеньями:

1. Безинерционное (усилительное)

y(t) = Kx(t).

2. Интегрирующее

3. Инерционное (апериодическое)

4.1. Идеальное дифференцирующее

4.2. Реальное дифференцирующее

5. Колебательное

6. Запаздывающее

y(t) = Kx(t −τ ), t >τ .

Таблица 1.1

Типовые динамические звенья САР