2.1.1.Элементы теории размерных цепей

Размерной цепью называют совокупность взаимосвязанных размеров (звеньев), образующих замкнутый контур.

По взаимному расположению звеньев размерные цепи делятся на линейные (все звенья параллельны), плоские (звенья расположены в одной плоскости) и пространственные.

Задача обеспечения точности при конструировании изделий решается с помощью конструкторских размерных цепей, а при изготовлении деталей - с помощью технологических размерных цепей.

Звено, которое получается последним в процессе изготовления или сборки узла, называют замыкающим. Его величина и точность зависят от величины и точности остальных звеньев, называемых составляющими.

Рис. 1.15. Схема трехзвенной размерной цепи

Размерные цепи рассчитываются методами “максимума - минимума”, при котором допуск замыкающего звена определяют с учетом предельных значений составляющих звеньев, и теоретико-вероятностным, который учитывает вероятность сочетания (например, при сборке) размеров составляющих звеньев.

Рассмотрим решение размерных цепей методом “максимум - минимум”.

Нетрудно видеть (рис. 1.15), что для номинальных значений

А_=А₁-А₂ , (1.3)

А_max=A_1max-A_2min , (1.4)

А_min=A_2min-A_1max . (1.5)

В общем случае при n увеличивающих и р уменьшающих звеньях

, (1.6)

, (1.7)

. (1.8)

Учитывая, что разность между наибольшими и наименьшими предельными размерами- суть допуски, почисленно вычитая (1.8) из (1.7), получим%

TA_= , (1.9)

TA_= , (1.10)

т.е. допуск замыкающего звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

Рис. 1.16 Схема определения координаты середины поля допуска ₀(Ai)

А_imax=A_i+Es(A_i),

A_imin=A_i+Ei (A_i),

Es(A_i)=₀ A_i + ,

Ei(Ai)=₀ A_i- , (1.11)

Es(A_)= , (1.12)

Ei(A_)= , (1.13)

_o(А_)= . (1.14)

При размерном анализе могут решаться две задачи:

1. Определение размера (номинального значения и предельных отклонений) замыкающего звена А_ по заданным размерам составляющих звеньев A_i.

2. Определение размеров составляющих звеньев А_i по заданным номинальным размерам всех звеньев цепи и предельным размерам замыкающего звена А_.

Для решения первой задачи при известных номинальных значениях звеньев достаточно двух уравнений: по (1.10) определяется допуск замыкающего звена и по (1.12) либо (1.13), либо (1.14) - его предельные отклонения или расположение допуска А_ относительно нулевой линии.

Вторую задачу приходится решать с помощью тех же двух уравнений: (1.10) и, например, (1.12), при (n+p) неизвестных.

Возможны два способа решения этой задачи:

• назначение равных допусков составляющих звеньев;

• назначение допусков составляющих звеньев одной степени точности (одного квалитета).

Способ равных допусков предполагает, что ТА₁ =ТА₂=...ТA_n+p; отсюда с учетом (1.10) ТA_i= . Полученный усредненный допуск можно корректировать, округлять, но так, чтобы выполнялось соотношение (1.10).

Расположение найденных полей допусков относительно номиналов устанавливают для всех звеньев, кроме одного, по технологическим соображениям (для охватываемых - в минус, для охватывающих - в плюс, для прочих - симметрично ), а последнего звена - по соотношению (1.12).

Способ равных допусков прост, но недостаточно корректен, т.к. при существенной разнице номинальных значений составляющих звеньев их допуски окажутся соответствующими различным квалитетам.

От этого недостатка свободен способ назначения допусков одной степени точности. Так как величина допуска каждого составляющего размера равна TA_j=ai_j то, принимая для всех звеньев одно и то же значение коэффициента точности а, уравнение (1.10) может быть представлено следующим образом:

ТА_=а и а= . (1.15)

Значения i - единиц допуска могут быть взяты из табл. 1.1,

где D - интервалы диаметров (размеров);

i - значение единицы допуска.

Таблица 1.1

После определения коэффициента точности а, значения допусков составляющих звеньев определяют по формуле ТА_j=аi_j, полученные значения округляют, но так, чтобы выполнялось базовое соотношение (1.10).

Расположение найденных полей допусков относительно номиналов возможно установить так же, как и в описанном выше “способе равных допусков”.

Решение размерных цепей теоретико-вероятностным методом осуществляется аналогично рассмотренному методу “минимум - максимум” при следующих изменениях: из формул (1.12), (1.13) и (1.14) используется только (1.14), вместо (1.10) используется формула

ТА_{ =} (1.16)

и вместо (1.15) а= . (1.17)

Формулы (1.16) и (1.17) получены из предположения, что распределение действительных размеров подчиняется закону Гаусса (нормального распределения), центр группирования случайных величин совпадает с серединой поля допуска, а поля рассеяния - с величиной допуска [6].

Рассмотрим размерный анализ изделия на примере распространенного типа электродвигателя - асинхронного с короткозамкнутым ротором.

Электродвигатель, как известно, - это машина для преобразования электрической энергии в механическую. Электродвигатель содержит неподвижную часть - статор с обмотками и вращающийся ротор, установленный на подшипниках качения.

Рис. 1.17. Схема электродвигателя

На рис.1.17 показана схема электродвигателя и выделены размеры, влияющие на замыкающие звенья соответствующих размерных цепей X₁, X₂, X₃: X₁- зазор между правым шарикоподшипником и внутренним торцом правого щита, X₂-вылет рабочего выходного конца вала, X₃-вылет вентиляторного выходного конца вала.

Три замыкающих размера X₁, X₂, и X₃ определяют три линейных размерных цепи (рис. 1.18 а, б, в).

Рис. 1.18 Размерные цепи в электродвигадетеле

Обход цепи, например, по часовой стрелке, позволяет определить принадлежность составляющих звеньев: одинаково направленные звенья имеют один статус. Так, в цепи (рис. 1.18б) звенья Б, Е увеличивающие (при их увеличении замыкающий размер X₂ увеличивается), остальные уменьшающие.