4.Обобщенный закон Ньютона. Уравнения движения вязкой жидкости Навье - Стокса. Обобщенный закон Ньютона

Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры и характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами и , удовлетворяющий этим условиям, есть (19)

Здесь - единичный тензор, и - скалярные величины.

тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.): (20)

Величина называется коэффициентом динамической вязкости, а - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения , , , в котором возникает сила трения

Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

Коэффициент характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

Коэффициенты , всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с используется коэффициент кинематической вязкости . Значения заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение , тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

(21)

Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

(22)

Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

(23)

с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. (24)

Если жидкость несжимаемая и = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

(25)