7.2.1. Упругие свойства композита, армированного непрерывными волокнами

Система из параллельно уложенных в одном направлении арми­рующих элементов, связанных матричными прослойками представляет собой простейший композит (рис. 7.1). Монослои таких материалов -основа для получения различных слоистых композитов, а по известным характеристикам однонаправленных материалов можно рассчитать свойства композиций с раз­личной ориентацией воло­кон в смежных слоях.

О сновные допущения, принимаемые при расчете модулей упругости, сво­дятся к тому, что волокна и матрица - изотропные уп­ругие материалы, которые при нагружении композиции деформируются совме­стно (это обеспечивается наличием между ними же­сткой связи).

Рис. 7.1. Схематичное изображение структуры однонаправленного композита

(7.2)

Сумма сил, действующих на матрицу Рхм и на волокно Рхв равна общей силе Рх

P_x=Р_хм+Р_хв (7.3)

Представив силу как произведение напряжения σ на площадь по­перечного сечения А, получим

σ_хмА_м+ σ_хвА_в= σ_хкА_к (7.4)

где σ_хм,σ_хв,σ_хк - растягивающие напряжения соответственно в матрице, волокне, композиции в направлении оси х; А_м, А_в, А_к - площадь попе­речного сечения матрицы, волокна, композита соответственно. Разделив обе части уравнения (7.4) на Ак получим

σ_хмV_м+ σ_хвV_в= σ_хк (7.5)

где V_м,V_в- объемная доля соответственно матрицы, волокна в композите: V_м= A_м/ A_к и V_в= A_в/ A_к.

Закон Гука для для одноосного напряженного состояния позволяет записать следующие зависимости:

, , , (7.6)

где Ехм- модули Юнга матрицы, волокон, композита в направ­лении х.

Считая материалы волокон и матрицы изотропными, опустим индекс направления у и преобразуем уравнение (7.5).

Е_хк=E_BV_B+E_MV_M =E_BV_B+E_M(1-V_B) (7.7)

Формула (7.7) позволяет оценить величину модуля нормальной упругости однонаправленного волокнистого композита в направлении армирования по известным концентрациям и модулям упругости мат­рицы и волокон.

Модуль упругости поперек волокон. При нагружении ком­позита силой Ру (рис. 7.1), перпендикулярной к оси волокон, напряжения в каждом из компонентов композита будут одинаковыми:

(7.8)

а абсолютная деформация всей композиции _ук; будет равна сумме де­формаций матрицы _ум и волокон _ув:

_ук=_ум=_ув (7.9)

Абсолютная деформация Д связана с относительной е соотношением:

= l (7.10)

где l - длина деформируемого элемента.

Подставив это соотношение в равенство (7.9), получим

_укl_ук=_умl_ум+_увl_ув (7.11)

где _ук, _ум, _ув - относительные деформации соответственно компози­ции, матрицы и волокна в направлении оси у.

Если для простоты принять, что сечения волокон прямоугольны, то

V_м=l_ум/ l_ук и V_в=l_ув/ l_ук (7.12)

Разделив обе части уравнения (7.11) на 1_ук, с учетом зависимостей (7.12), получим

_ук=_умV_м+_увV_в (7.13)

Выразив с помощью закона Гука деформации в формуле (7.13) че­рез соответствующие напряжения и модули упругости ( ) и приняв во внимание условие (7.8), придем к соотношению, позволяющему оце-

нить модуль упругости волокнистого однонаправленного композита в поперечном направлении, перпендикулярном оси волокон

E_ук=Е_вЕ_м.[Е_мV_в+Е_в(1-V_в)]. (7.14)

Упругие свойства материала, наряду с модулями упругости, харак­теризуются коэффициентом Пуассона (v). Величина его равна отноше­нию абсолютного относительного поперечного сжатия сечения образца (при растяжении) к относительному продольному удлинению.

Для композита коэффициент Пуассона определяется по формуле

V_хук=_ук/_хк (7.15)

При нагружении силой Р_x деформацию _ук можно рассчитать из соотношения (7.13) с учетом того, что _ум=v_м_хм и _ув=v_в_хв:

_ук=v_м_хм(1-V_в)+v_в_хвV_в. (7.16)

Подставляя формулу (7.16) в выражение (7.15) и используя закон Гука. получаем формулу для определения коэффициента Пуассона:

V_хук=V_м(1-V_в)+v_вV_в. (7.17)

Модуль сдвига однонаправленного волокнистого компо­зита. При нагружении композита касательными напряжениями (рис. 7.2) нагрузка воспринимается матрицей и волокнами последовательно, по­этому величины касательных напряжений в матрице τхум и волокнах τхув одинаковы:

τ_ху= τ_хум= τ_хув. (7.18)

_хук =_хувV_в+_хум(1-V_в). (7.19)

Поскольку поведение всех компо­нентов рассматривается в пределах упру­гих деформаций, можно воспользоваться выражением закона Гука для сдвига:

. (7.20)

Подставив его в уравнение (7.19), с учетом равенства (7.18) получим выраже­ние для модуля сдвига композита:

. (7.21)

Четыре упругие константы , , , полностью описывают упругое поведение однонаправленного волокнистого композита при плоском напряженном состоянии.