2. Системы счисления. Представление чисел в позиционных и непозиционных системах

Система счисления - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения с.с должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления. Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления. Запись чисел может быть представлена в виде А_(D) =D₁+D₂+…+D_k= , где A(D) - запись числа A в с.с. D; D_i - символ системы, образующие базу.

По этому принципу построены непозиционные с.с. В общем же случае системы счисления: A(B)=a₁B₁+a₂B₂ +...+a_nB_n. Если положить, что B_i=q^B_i-1, а B₁=1, то получим позиционную с.с. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной с.с. На практике также используют другие с.с. Каждая с.с имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). В позиционной с.с число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q: A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ (1) Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной с.с.