19.4 Метод приведения в динамике механизмов

Задача построения динамической модели конструкций роботов, систем управления и автоматики возникает на различных этапах проектирования. На начальном этапе, задаваясь ориентировочно массами и жесткостью звеньев, определяют и конструируют передаточные механизмы и выбирают приводы. Затем на этапе компоновки конструкции появляется возможность более точно оценить ее динамические и точностные характеристики, выбрать рациональные компоновку и параметры конструкции, не прибегая к ее изготовлению. Трудность решения этой задачи на этапе проектирования состоит в том, что для построения динамической модели необходимо знать размеры звеньев, а они известны лишь ориентировочно. Поэтому на практике целесообразно начинать динамические исследования с простейших моделей, оценивая их пригодность при решении каждой конкретной задачи. При определении закона движения механизма составляют уравнение движения и решают его относительно искомого кинематического параметра (обобщенной координаты, скорости или ускорения). Для механизма с одной степенью свободы, имеющего одно ведущее звено, решение этой задачи значительно упрощается, если все внешние силы и моменты сил, приложенные к различным звеньям, заменить одной приведенной силой, приложенной к одному звену механизма. При этом массы всех подвижных звеньев заменяют динамически эквивалентной приведенной массой, связанной со звеном приведения. Задачу о движении системы звеньев для механизмов с одной степенью подвижности сводят с помощью приведенных сил и масс к задаче о движении одного звена или одной точки. В качестве звена приведения обычно принимают ведущее звено механизма. Приведенной силой F_np в общем случае называется такая условная сила, элементарная работа которой при возможном перемещении точки приведения равна сумме элементарных работ приводимых сил при соответствующих перемещениях точек приложения этих сил, приведенным моментом сил Мпр называется момент приведенной силы F_np. Точка приложения приведенной силы называется точкой приведения, а звено, которому принадлежит эта точка, — звеном приведения. Звено и точка приведения, а также направление F_np могут быть выбраны произвольно. В большинстве случаев F_np приводится к точке ведущего звена механизма и направляется по касательной к траектории точки приведения. Для механизмов с одной степенью свободы равенство элементарных работ приводится к равенству мощностей. Приведенная сила, будучи приложенной в точке приведения, развивает мгновенную мощность, равную сумме мгновенных мощностей, развиваемых силами и моментами сил,приложенными к звеньям исследуемого механизма. Приведенный момент, приложенный к звену приведения, развивает мгновенную мощность, равную сумме мгновенных мощностей приводимых сил и моментов. Для механизма с одной степенью свободы получим:

где — скорость точки приложения силы — угол между обычно равный нулю; F_k — сила, приложенная в точке k; х_k — скорость точки приложения силы F_k; , — угол между направлениями векторов М_i — момент сил, приложенных к звену i; ω_i — угловая скорость звена; n₁ - количество сил, приложенных в точках звеньев механизма; п₂ —количество моментов сил, приложенных к звеньям механизма; ω_пр — угловая скорость звена приведения.

Из последних равенств находим приведенные силы и моменты:

F_np и М_пр зависят не только от величины приводимых сил и моментов, но и от отношения скоростей. Приведенной массой тпр называется такая условная масса, которая, будучи сосредоточенной в точке приведения А, обладает кинетической энергией, равной кинетической энергии механизма, т.е. K=m_npх² _A/2. Поэтому

Приведенным моментом инерции называется условный момент инерции вращающегося звена приведения, которое обладает кинетической энергией, равной кинетической энергии механизма, т.е.

Учитывая, что , имеем:

где К— кинетическая энергия механизма; ωпр — угловая скорость звена приведения; l0А — расстояние от точки приведения до оси вращения звена приведения.

Приведенная масса и приведенный момент инерции характеризуют инертность механизма, его быстродействие. Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий звеньев. Если механизм состоит из п звеньев, из которых n₁движутся поступательно, п₂ вращаются вокруг неподвижных осей и п₃ совершают плоскопараллельное движение, то кинетическая энергия механизма вычисляется по формуле

где m — масса звена; х_c — скорость центра масс звена; J_0j — момент инерции звена./ относительно оси вращения О; ω— угловая скорость звена; J_Ck — момент инерции звена к относительно центра масс С.