9.2. Дискретные передаточные функции и разностные уравнения при описании суим

В инженерной практике для описания динамических дискретных звеньев СУИМ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т.п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ), записываемые в виде

(9.9)

где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые дискретные передаточные функции должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Способы получения ДПФ:

1). Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа):

x

y(t) y(kT) Y(z)

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) домножить на z^-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (9.7), которая по сути представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое Z-преобразование является однозначным преобразованием.

2). С помощью таблицы Z –преобразований [6-10]. Алгоритм получения ДПФ аналогичен рассмотренному выше, но не требует нахождения дискретных выборок входного x(kT) и выходного y(kT) сигналов.

3). Метод подстановки. На практике наиболее распространены два типа подстановок:

– метод прямоугольников (нуль-интерполяции):

; (9.10)

– метод трапеций или метод Тастина (линейная интерполяция):

, (9.11)

где T – такт квантования.

Метод трапеций обеспечивает более точную в отношении среднеквадратического критерия аппроксимацию непрерывных сигналов, как при их нарастании, так и спадании.

К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в идеальных интегрирующих звеньях, аппроксимируемых методами нуль-интерполяции и линейной интерполяции, имеют соответственно вид: Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX (kT);

Y (kT) = Y ((k-1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k-1)T)].