3.3.2. Динамика суим. Свободные и вынужденные переходные процессы

Динамические режимы СУИМ характеризуются переходными состояниями системы при изменении начального состояния, а также входных (задающих и (или) возмущающих) воздействий). При этом различают свободные и вынужденные переходные процессы.

Свободный (собственный) процесс в системе определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего СУИМ, протекает под действием ненулевых начальных условий Y(t₀) ≠ 0 и в устойчивых системах асимптотически затухает:

, (3.17)

где – матрица перехода системы из начального состояния Y(t₀) в текущее состояние Y(t).

Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментом t_з (t_в) приложения задающего (возмущающего) воздействия X(t) и моментом наблюдения выходной величины Y(t) равен бесконечности. В дальнейшем будем полагать моменты времени приложения воздействий равными нулю. Тогда процесс изменения выходной величины Y(t) в соответствие с теоремой свертывания (умножения изображений) будет иметь вид [9,10]

, (3.18) где – импульсная переходная функция по задающему (возмущающему) воздействию.

Полное решение уравнения движения линейных СУИМ представляет собой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.

В теории управления к типовым тестовым воздействиям относят, как правило, единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействия. Соответствующие динамические реакции систем на эти воздействия называют переходным процессом и импульсным переходным процессом.

В качестве примера на рис. 3.3 приведена реакция электродвигателя постоянного тока на ступенчатое приложение номинальной нагрузки M_сн к его валу (возмущающего воздействия).

При приложении номинальной нагрузки скорость двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скорости превышает статическое падение скорости (см. рис. 3.1).

Вынужденное движение соответствует новому установившемуся состоянию – номинальной скорости электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет t_рег .

З адача исследования динамических свойств СУИМ в концепции современной теории управления решается путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной СУИМ. Для этой цели применяют матрицу переходных состояний.

Рис. 3.3. Реакция электродвигателя постоянного тока на возмущающее воздействие в виде ступени номинальной нагрузки на валу

Если известны в момент времени t = 0 начальное состояние X(0) объекта управления и вектор управляющих воздействий U(0) (призванный оптимизировать движение системы), то уравнение движения системы во времени (здесь и далее полагается, что возмущения F(t), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [9,10]:

. (3.19)

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (3.12) отражает свободное движение многомерной линейной САУ и аналогично скалярному выражению (3.17), описывающему свободное движение одномерной системы. Второе слагаемое в (3.19) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ и аналогично выражению (3.18), описывающему вынужденное движение одномерной системы.

Матрицу , определяющую динамические процессы в системе, называют переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании систем как во временной области (в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числом k ( ) членов ряда [10]:

, (3.20)

где E – единичная матрица;

! – знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения, описывающего линейную систему управления, можно получить и в области комплексного переменного p, применив преобразование Лапласа:

, (3.21)

где – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния,

т. е. .

В частности для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X(0) можно записать

. (3.22)