5.10. Расчет мембранных процессов и аппаратов

Полный расчет мембранных установок включает в себя технологический, гидравлический и механический расчеты. В ряде случаев, когда используют системы подогрева или охлаждения растворов, необходим также тепловой расчет. В ходе технологического расчета определяют необходимую поверхность мембран, жидкостные потоки и их состав. Цель гидравлического расчета – определение гидравлического сопротивления аппаратов и арматуры, механического – обоснование размеров элементов аппаратов и выбор арматуры для работы установки при соответствующих давлениях. Тепловой расчет позволяет определить необходимую поверхность теплопередачи и расход тепло- и хладоносителей.

Материальный баланс баромембранных процессов. Обычно мембранные процессы проводят при постоянных температуре и давлении. Заданными величинами являются: количество исходного раствора и его состав , концентрация пермеата , а также выход пермеата :

(5.12)

где – расход пермеата, кг/ч.

По выходу пермеата а определяют его количество:

^, (5.13)

Материальный баланс по потокам

(5.14)

где – расход ретанта (концентрата).

Из выражения (5.14) находят расход ретанта

^. (5.15)

Материальный баланс по компоненту

(5.16)

Тогда с учетом (5.15) состав ретанта

(5.17)

или

(5.18)

Полученные уравнения могут быть использованы и для расчета других мембранных процессов.

С учетом выражения (5.12) последнее уравнение примет следующий вид:

. (5.19)

После этого определяют селективность φ мембраны с помощью выражения (5.1). По величине φ с учетом свойств разделяемого раствора по справочникам подбирают соответствующую марку мембраны. Затем для этой мембраны находят зависимость удельной производительности мембраны от состава разделяемого раствора над мембраной:

(5.20)

Зная величины , по выражению (5.2) с учетом выражения (5.13) находят поверхность полупроницаемой мембраны:

(5.21)

Расчет поверхности мембраны. Расчет проводят на основе уравнения массопередачи. Разработка методов расчета мембранных процессов и аппаратов непосредственно связана с анализом механизма процессов. При решении данной проблемы возможны различные подходы. Один подход состоит в том, чтобы на основе уравнений гидродинамики (Навье-Стокса и неразрывности потока) и массопереноса (конвективной и молекулярной диффузии) получить уравнения для определения основных технологических характеристик (селективности, проницаемости, требуемой поверхности мембран). Этот подход наиболее верен. Его стремятся использовать для решения подобных задач применительно ко всем другим массообменным процессам, рассмотренным выше.

Однако этот путь, как отмечалось ранее, оказывается очень сложным: трудно найти распределение концентраций в пограничных слоях фаз, определить поверхность контакта фаз и т.д. Поэтому часто используют другой подход, широко применяемый в инженерных расчетах тепломассообменной аппаратуры: процесс разбивают на отдельные стадии, находят уравнения для определения скорости переноса на каждой стадии и по уравнению массопередачи рассчитывают необходимую поверхность массопереноса, в данном случае – рабочую поверхность мембраны. К достоинствам такого метода следует отнести прежде всего возможность получения обобщенных зависимостей для определения скоростей отдельных стадий процесса, что в конечном итоге позволяет рассчитывать мембранные аппараты без проведения предварительных экспериментов.

В общем случае количество вещества, проходящего через мембрану, можно определить по основному кинетическому уравнению массопередачи

(5.22)

где – коэффициент массопередачи; – рабочая поверхность мембраны; – движущая сила мембранного разделения; – продолжительность процесса.

Из уравнения (5.22) получаем выражение для определения рабочей поверхности мембраны

(5.22a)

Если принять, что – количество какого-либо компонента (или компонентов) смеси, переходящего через мембрану, то можно определить из уравнения материального баланса (обычно допустимый перенос компонента разделяемой смеси через мембрану задается).

Коэффициент массопередачи при переносе вещества через мембрану

, (5.23)

где – коэффициент массоотдачи от потока разделяемой смеси к поверхности мембраны; – толщина мембраны; – коэффициент массопроводности мембраны; – коэффициент массоотдачи от мембраны в поток пермеата.

Коэффициент массопередачи может быть выражен через общее сопротивление переносу мембраны :, причем

(5.24)

где и – сопротивление массопереносу соответственно со сторон разделяемой смеси и пермеата; – сопротивление массопереносу в мембране.

Вклад отдельных видов сопротивлений в общее сопротивление R различен и зависит от типа мембранного процесса и условий его проведения. Например, при диффузионном разделении газов при условии небольшого перепада давлений через мембрану основное сопротивление процессу сосредоточено в самой мембране () и сопротивлениями и можно пренебречь; при обратном осмосе и ультрафильтрации обычно пренебрежимо малой является величина r₂; при испарении через мембрану могут быть соизмеримы все виды сопротивлений – r₁, r_м и r₂.

Наиболее сложным при использовании уравнения (5.22а) для расчета рабочей поверхности мембраны является определение значения r_м. Поэтому для такой задачи приходится ставить эксперимент. Кроме того, для ряда мембранных процессов не всегда легко определить значение . Поэтому расчет рабочей поверхности мембран на основе уравнения массопередачи нуждается в дальнейшей разработке.

Гидравлические и тепловые расчеты были рассмотрены в соответствующих разделах данного учебного пособия. Необходимые для таких расчетов справочные величины приведены в специальной литературе.

Особое место при расчете мембранных процессов занимает учет явления концентрированной поляризации.

Расчет концентрационной поляризации. В процессе разделения, например, жидких систем через мембрану проходит преимущественно растворитель. При этом концентрация растворенного вещества в пограничном слое у поверхности мембраны повышается. Повышение концентрации происходит до тех пор, пока диффузионный поток растворенного вещества из пограничного слоя в разделяемый раствор не уравновесится потоком растворенного вещества через мембрану с установлением так называемого динамического равновесия.

Отношение концентрации растворенного вещества у поверхности мембраны к его концентрации в разделяемом растворе называют концентрационной поляризацией. Ее влияние на рабочие характеристики мембран отрицательно, так как вследствие увеличения осмотического давления раствора снижается движущая сила процесса разделения. Кроме того, при этом возможны выпадение в осадок и осаждение на мембране труднорастворимых солей, гелей высокомолекулярных соединений, что вызывает необходимость чистки или замены мембран.

Расчет концентрационной поляризации проводят, исходя из различных моделей процесса массопереноса растворенного вещества через мембрану. При использовании модели с распределением концентрации растворенного вещества у поверхности мембраны, показанным на рис. 5.10, предполагают, что растворенное вещество переносится в пограничном слое молекулярной диффузией и конвекцией.

Рис. 5.10. Распределение

концентрации в пограничном слое

В этом случае

(5.25)

где и – удельная проницаемость мембраны соответственно по растворителю и растворенному веществу; – коэффициент диффузии растворенного вещества в растворе; – концентрация растворенного вещества; – расстояние от рассматриваемой точки до поверхности мембраны.

Введем понятие истинной селективности , т.е. селективности с учетом явления концентрационной поляризации:

(5.26)

где – концентрация растворенного вещества у поверхности мембраны.

При допущении постоянства потока растворенного вещества по всей длине пограничного слоя

(5.27)

С учетом уравнений (5.26) и (5.27) получим

(5.28)

Граничными условиями являются:

при ;

при ,

где – толщина пограничного слоя.

Интегрируя уравнение (5.28), получим

(5.29)

Отношение представляет собой не что иное, как коэффициент массоотдачи растворенного вещества от поверхности мембраны в объем раствора. Введя в уравнение (5.29), получим

(5.30)

В случае уравнение (5.30) упрощается:

(5.31)

Если в уравнение (5.30) ввести фактор Чилтона-Кольборна, равный при турбулентном режиме движения разделяемого раствора: , получим следующее уравнение:

(5.32)

где – средняя скорость движения разделяемого раствора; – диффузионный критерий Прандтля; – кинематическая вязкость разделяемого раствора.

Введя в уравнение (5.32) выражение для определения наблюдаемой селективности , получим равенство, применимое для описания процесса обратного осмоса в плоском межмембранном канале:

(5.33)

Расчетные данные, иллюстрирующие зависимость концентрационной поляризации от проницаемости мембраны и числа Рейнольдса в турбулентном потоке при концентрировании четырёхпроцентного водного раствора хлорида натрия с помощью трубчатых мембран, приведены на рис. 5.11, из которого видно, что концентрационная поляризация особенно значительна для мембран с высокой проницаемостью при небольших значенияхRe.

Для определения коэффициента массоотдачи, входящего в формулы расчета концентрационной поляризации, предложен ряд уравнений, которые приведены в специальной литературе. На массоперенос, особенно при разделении растворов электролитов, плотность которых сильно зависит от концентрации растворенного вещества, может существенно влиять естественная конвекция.

Выше уже отмечалось, что концентрационная поляризация приводит к загрязнению мембран. Но этим далеко не исчерпывается ее отрицательная роль в мембранных процессах. Именно она определяет сопротивление массообмену со стороны разделяемого раствора. Из-за повышения концентрации у поверхности снижаются селективность и удельная производительность мембран. Причем поскольку отношение концентраций растворенных веществ у поверхности мембраны и в объеме разделяемого раствора экспоненциально возрастает с увеличением удельной производительности, то концентрационная поляризация может явиться фактором, лимитирующим проницаемость мембран в процессах ультрафильтрации, нанофильтрации и обратного осмоса. И усилия, направленные на создание новых высокопроизводительных мембран, могут оказаться напрасными, если одновременно не развивать способы ее эффективного снижения.

Рис. 5.11. Концентрационная поляризация в турбулентном потоке

Эти способы можно разделить на две группы:

• способы, связанные с интенсификацией массоотдачи от поверхности мембран в ядро потока разделяемого раствора, что позволяет с той или иной степенью эффективности выравнивать концентрации у поверхности мембран и в объеме раствора;

• способы, основанные на установлении низкой проницаемости, при которой концентрационная поляризация не достигает значительных величин.

Последние носят пассивный характер и, скорее, должны рассматриваться как условия, при которых КП не представляет собой серьезную проблему.

Снижение КП целесообразно использовать при ультрафильтрации, несмотря на то, что они сопряжены со значительными усложнениями аппаратурного оформления процесса или его организации. В обратном осмосе и нанофильтрации достаточно эффективными являются более простые способы, связанные с увеличением гидравлического сопротивления межмембранного канала: во-первых, благодаря тому, что концентрационная поляризация имеет меньшую величину, чем при ультрафильтрации; во-вторых, из-за значительно более высоких рабочих давлений увеличение гидравлического сопротивления меньше сказывается на росте затрат энергии на процесс.

Наибольшее влияние КП оказывает на характеристики процесса разделения жидких смесей. Однако и при разделении газовых смесей при высоких давлениях (от нескольких мегапаскалей и выше) вклад внешнего диффузионного сопротивления процессу может оказаться настолько существенным, что уже нельзя будет его не учитывать.