2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера для покоящейся жидкости

В гидростатике равновесие жидкостей рассматривается в состоянии относительного покоя, при котором в движущейся жидкости ее частицы не перемещаются друг относительно друга. Силы внутреннего трения отсутствуют, поэтому жидкость можно считать идеальной.

В состоянии покоя форма объема жидкости не изменяется и подобно твердому телу перемещается как единое целое.

Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления. В случае относительного покоя необходимо учитывать силу инерции переносного движения жидкости. Соотношение между силами, действующими на жидкость, находящуюся в состоянии покоя, который и определяет условия равновесия этой жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

В объеме жидкости, находящейся в покое (рис. 2.2), выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy, dz, расположенными параллельно осям координат x, y, и z.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.

Запишем уравнения равновесия для осей :

;

;

.

Раскрыв скобки, получим:

,

,

.

После преобразований получим дифференциальные уравнения Эйлера:

; ;.

Рис. 2.2. К выводу дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

Для нахождения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости p=f(x, y, z) необходимо проинтегрировать систему уравнений.

Основное уравнение гидростатики. Из уравнений следует, что p=f(z), т.к. и , иначе жидкость должна была бы двигаться по горизонтали.

В этом случае частная производная изменяется на полную производную , тогда

, ,,,

или .

После интегрирования

. (2.1)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 основное уравнение гидростатики имеет вид

.

Это уравнение можно записать как

,

или

. (2.2)

Уравнение (2.2) является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

При изменении p₀ в точке z₀ на какую-либо величину давление p во всякой другой точке изменяется на эту же величину (рис. 2.3).