18. Типові задачі оптимізації

Простим окремим випадком класичних оптимізаційних задач є задача на пошук екстремумів нелінійної цільової функції. Якщо, для двох пар змінних стану y₁,y₂ і керування цільова функція має вигляд

де і — координати оптимального значення, то переходячи звичайним чином від представлення цільової функції у вигляді F-форми до С-форми, можна вивести умови, при яких буде забезпечуватися її максимум (або мінімум). Причому вони обов'язково присутні, оскільки екстремальні точки у функції існують.

Часто в теорії оптимізації зустрічаються задачі на оптимізацію нелінійної цільової функції з нелінійними обмеженнями. Для знаходження оптимальних значень, по яких проводиться оптимізація, застосовується метод множників Лагранжа.

Велику групу оптимізаційних задач складають задачі лінійного програмування. Лінійні моделі у відсутності обмежень не мають кінцевих значень змінних, що визначають мінімум або максимум цільових функцій. Сукупність деякого числа лінійних обмежень визначає в просторі відповідний опуклий багатогранник, вершинами якого є координати x₁,x₂,…x_n . Будь-яке вираження виду визначає гіперплощина n-вимірного простору. При т числі обмежень утвориться т гіперплощин, причому перетинання будь-яких двох із них дає в перетині деякий багатогранник (мал.3).

Рішення задач подібного типу проводиться за допомогою так званого симплексного методу, сутність якого полягає в знаходженні координат однієї з вершин і наступному спрямованому русі по ребрах багатогранника, отриманого в результаті перетинання n-вимірного опуклого багатогранника з гіперплощиною виду

Рух повинен проводитись тільки або убік зменшення значення цільової функції при її мінімізації, або убік збільшення при пошуку максимуму.

Серед інших класичних задач оптимізації велике місце займають задачі, розв'язувані із застосуванням методів варіаційного вирахування і динамічного програмування.