Анализ точности изделий методами математической статистики

Пользуясь методами математической статистики, можно определить количественные значения и закономерности изменения как случайных, так и систематических погрешностей, возникающих в процессе производства изделий.

При проведении исследований методами математической статистики должны выполняться определенные условия. Например, при обработке партии заготовок на металлорежущих станках они будут такими:

• количество заготовок в исследуемой партии не меньше 50 шт.;

• единый метод получения заготовок;

• обработка всей партии заготовок должна выполняться по одной настройке технологической системы с постоянными режимами резания;

• не должно быть доминирующих погрешностей, т. е. погрешности должны быть одного порядка и соизмеримы между собой.

При обработке партии заготовок на настроенном станке, в результате возникновения случайных погрешностей, действительные размеры каждой заготовки являются случайными величинами и могут принимать любые значения в пределах определенного интервала. При механической обработке заготовок с точностью 8...10 квалитетов и грубее, действительные размеры обычно распределяются по закону нормального распределения.

Распределение размеров заготовок после обработки можно представить в виде таблиц или графиков. Измеренные значения действительных размеров заготовок разбивают на интервалы таким образом, чтобы цена интервала была больше цены деления шкалы измерительного устройства. Этим компенсируются погрешности измерения.

Например, после измерения 100 шт. обработанных заготовок с действительными размерами в пределах от 20,00 до 20,35 мм распределение этих размеров по интервалам приведено в таблице 1.1 и показано в виде графика на рис. 1.4 [12].

Таблица 1.1. Распределение размеров заготовок

Интервал, мм	Частота т	Частость т/п
20,00 ...20,05	2	0,02
20,05 ...20,10	11	0,11
20,10 ...20,15	19	0,19
20,15 ...20,20	28	0,28
20,20 ...20,25	22	0,22
20,25 ...20,30	15	0,15
20,30 ...20,35	3	0,03
Итого	п=∑т=100	(∑т)/п = 1

По оси абсцисс откладывают интервалы размеров в соответствии стабл. 1.1, а по оси ординат соответствующие им частоты т или частости т/п. В результате построения графика получается ступенчатая линия 1, называемая гистограммой распределения. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, то образуется ломаная кривая 2, которая носит название эмпирической кривой распределения или полигона распределения размеров. При значительном количестве измеренных заготовок и большом числе интервалов размеров ломаная эмпирическая кривая приближается по форме к плавной кривой, именуемой кривой распределения.

Разность между наибольшим и наименьшим размерами, полученными при измерении, определяет величину поля рассеяния размеров деталей, т. е. ω = L_max – L_min . Для получения годных деталей необходимо, чтобы поле рассеяния размеров не выходило за пределы допуска.

Средний размер детали в исследуемой партии L _ср равен среднемуарифметическому из размеров всех деталей, т. е.

, (1.22)

где m_i – количество деталей вi-ом интервале;

L_i – размер группы деталей, соответствующейi‑му интервалу;

k – число групп, соответствующее числу интервалов.

Средний размер L_cр соответствует центру группирования действительных размеров деталей исследуемой партии. При симметричном распределении размеров относительно центра группирования

L_cр = (L_min + L_max)/2.

На рис. 1.5 показана криваянормального распределения с началом координат в центре группирования размеров деталей.

Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

, (1.23)

где у – частота появления погрешности;σ– среднее квадра­тическое отклонение аргумента; ≈ 3,14;е –основание натуральных логарифмов;х – отклонение действи­тельных размеров от центра группирования.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле

, (1.24)

где х_i = L_i – L_cр; m_i – количество деталей в каждом интервале; n – количество деталей в исследуемой партии.

Из уравнения кривой нормального распределения (1.23) видно:

1) при х = 0 максимальная ордината равна

;

2) при х = ±σ ордината для точек А и В равна

.

Уравнение кривой нормального распределения (1.23) показывает, что среднее квадратическое отклонение σ является единственным параметром, определяющим форму кривой и меру точности технологического процесса. Чем меньше величина σ, тем меньше рассеяние размеров (кривая менее растянута по оси абсцисс) и соответственно технологический процесс обеспечивает более высокую точность изготовления деталей.

На основании исследований устанавливают допуск Т для исследуемого технологического процесса в зависимости от коэффициента риска t и среднего квадратического отклонения σ: Т = t σ. При t = 2величина Т = 2σ (диапазон ± σ), и вероятность получения годных деталей составит 68%; при t = 4: Т = 4σ (диапазон ±2σ) и годных деталей будет 95,5%; при t = 6: Т = 6σ (диапазон ±3σ) и годных деталей будет 99,73%.

При практических расчетах обычно принимается, что на расстоянии ±3σ от положения вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что пересекают ее. Возникающая при этом допущении погрешность составляет 0,27% и практического значения не имеет.

При расчете случайных погрешностей и размерных цепей методом частичной взаимозаменяемости используется относительное среднеквадратическое отклонение λ, величина которого зависит от закона распределения размеров. Так, для закона нормального распределения λ = 1/9, для распределения размеров по закону Симпсона λ = 1/6, для закона равной вероятности, а также для случаев, когда о законе распределения данной первичной погрешности ничего не известно (либо мало известно) λ = 1/3.

Кривые распределения размеров в производственных условия строить не обязательно. Однако для анализа ТП рассмотрение форм кривых и их расположения может оказаться полезным.

На рис. 1.6 показано изменение формы кривой распределения в ходе выполнения ТП [15].

Предположим, что в результате проведения первого ТП определено значение σ₁ (рис. 1.6, а). Измерение второй выборки деталей через некоторое время показывает, что значение σ₁ сохранилось, однако вся кривая сдвинулась вправо. Это означает, что во втором ТП ничего не изменилось, кроме расположения центра группирования, т. е. в процессе появилась постоянная систематическая погрешность ∆_н в результате смещения вершины резца при подналадке технологической системы.

Если изменилось не только значениеσ, но и произошел сдвиг центрагруппирования (рис. 1.6, б), то это означает, что вершина резца переместилась на величину∆′_ни, кроме того, изменились условия обработки (например, обработка производилась менее острым резцом).

Многовершинная кривая распределения (рис. 1.6, в) показывает, что произошло смешивание деталей различных партий. Такая кривая не позволяет сделать однозначный вывод о процессе обработки.

Практически под влиянием различных причин систематического и случайного характера вершина кривой распределения может смещаться по отношению к середине поля рассеяния в ту или иную сторону, а форма кривой может изменяться; в результате этого фактическая кривая распределения может стать несимметричной (рис.1.7). Смещение вершины кривой распределения относительно центра группирования в правую сторону обычно возникает при обработке наружных поверхностей вращения, а в левую – при обработке отверстий.

Смещение центра группирования характеризуется величиной коэффициента относительной ассиметрии α. Коэффициент α определяет величину смещения математического ожидания (центра группирования) отклонений относительно середины поля рассеяния (или поля допуска) в долях половины поля рассеяния (допуска).

Значения α находятся в пределах от 0 до ±0,5 и определяются опытным путем или находятся из соответствующих таблиц. В проектных случаях, когда условия обработки бывают неизвестны, часто принимают α = 0, считая кривую распределения симметричной.

В тех случаях, когда поле рассеяния размеров заготовок на данной операции превосходит поле допуска (ω>Т), то возможен их брак.

Вероятный процент брака в партии обработанных заготовок вычисляется следующим образом [10]. При рассеянии размеров, соответствующем закону нормального распределения, принимается с погрешностью не более 0,27%, что все заготовки партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния .

При этом очевидно, что площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс (рис. 1.8), равна единице и определяет 100% заготовок партии. Площадь заштрихованных участков представляет собой количество (в долях единицы или в процентах) заготовок, выходящих по своим размерам за пределы допуска.

Для определения количества годных заготовок необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на длине, равной допуску . При симметричном расположении поля рассеяния относительно поля допуска (рис. 1.8, а) следует найти удвоенное значение интеграла, определяющего половину площади, ограниченной кривой и абсциссой х₀,

. (1.25)

Выражение (1.25) можно записать в нормированном виде в форме известной функции Лапласа:

. (1.26)

Значения этой функции табулированы в зависимости от величины t иуказываются в таблицах.

В формуле (1.26) величинаt представляет собой нормированный параметр распределения иликоэффициент риска и определяется для симметричного поля рассеяния (рис. 1.8, а) выражением

. (1.27)

С увеличением значения t возрастает количество заготовок, размеры которых находятся в пределах поля допуска Т, и уменьшается процент ожидаемого брака при обработке.

При несимметричном расположении поля рассеяния (рис. 1.8, б) общая площадь, ограниченная кривой и абсциссой х, определяется суммой двух площадей с абсциссами х_A и х_B, рассчитанных по формуле (1.26). Известно, что решение функции Лапласа зависит не от конкретных значений х и σ, а от их отношения в формуле (1.27).

При законе нормального распределения размеров процент ожидаемого брака (процент риска Р) может быть определен в соответствии с нижеприведенными значениями.

Таким образом, расчет количества годных обработанных заготовок сводится к установлению по формуле (1.27) или в зависимости от процента риска величины t и определению Ф (t) по таблице с последующим пересчетом полученных величин в проценты или в число штук заготовок.

При обработке заготовок с точностью 7...8 квалитетов, а в некоторых случаях и 6 квалитета, распределение их действительных размеров в большинстве случаев подчиняется закону треугольника (закону Симпсона), который графически выражается равнобедренным треугольником(рис. 1.9, а).

При распределении размеров по закону треугольника поле рассеяния

.

Величина среднего квадратического отклонения σ определяется, как и для закона нормального распределения.

Если на рассеяние размеров значительное влияние оказывают систематические закономерно изменяющиеся погрешности, то распределение действительных размеров партии обработанных заготовок подчиняется закону равной вероятности.

Известно, что при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейно-му закону. Изменение размеров обрабатываемых заготовок на величину

2l = L_max – L_min

за период времени Т₂ –Т₁тоже происходит по закону прямой линии(рис. 1.9, б). Распределение размеров заготовок в интервале от L_min доL_max по закону равной вероятности выражается прямоугольником(рис. 1.9, в) с основанием 2l и высотой 0,5l.

Среднее арифметическое значение размера

.

Среднее квадратическое отклонение

.

Фактическое поле рассеяния

.

Закон равной вероятности распространяется на распределение размеров заготовок повышенной точности (5...6 квалитеты и выше) при их обработке по методу пробных ходов.

Распределение таких, всегда положительных, величин, как эксцентриситет, биение, разностенность, непараллельность, некруг­лость, конусность и других, характеризующихся их абсолютными значениями, подчиняется закону распределения эксцентриситета (закону Релея).

Распределение по закону Релея (рис. 1.10) формируется в том случае,когда случайная величина R является радиус-вектором и представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин х и у:

_,

каждая из которых подчиняется закону нормального распределения с параметрами: ; .

Закон распределения Релея однопараметрический и уравнение его кривой распределения имеет вид

,

где σ₀ – среднее квадратическое отклонение значений координат х иу.

Среднее арифметическое значение R_ср переменной случайной величины (биения, разностенности и др.), ее среднее квадратическое отклонениеσ_R и среднее квадратическое отклонениеσ_означений координатх иу конца радиус-вектора связаны между собой соотношениями:σ_о = σ_R / 0,655;R_ср = 1,92σ_R= 1,253σ_о. Фактическое поле рассеяния значений R: ω = 5,252σ_R = 3,44σ_о.

Вышеуказанные методы исследования фиксируют результаты уже законченного процесса и не учитывают последовательность обработки заготовок. Этот недостаток устраняется точечными (точностными) диаграммами, построенными на основании последовательного статистического контроля.

Для построения таких диаграмм по оси абсцисс откладывают номера последовательно обработанных деталей или групп деталей, а по оси ординат – размеры, полученные в результате обработки.

Полученный разброс точек будет характеризовать рассеяние размеров деталей для наружных (рис 1.11, а) и для внутренних (рис. 1.11, б) цилиндрических поверхностей.

На рис. 1.11 δ означает допуск на размер; линия Б₁ –Б₁ – верхний предельный размер; Б₂ – Б₂ – нижний предельный размер; А₂ – уровень наладки при обработке наружных поверхностей; А₁ – уровень наладки при обработке внутренних поверхностей; линии А₁ – А₁ и А₂ – А₂ –контрольные прямые, характеризующие рассеяние размеров.

Если при обработке детали замечают, что точка, обозначающая получаемый размер, расположилась вблизи контрольной прямой линии, это значит, что при дальнейшей обработке может появиться брак, поэтому необходимо прекратить обработку и поднастроить станок, подналадить или сменить инструмент.

Использование точечных диаграмм уменьшает время на контрольные промеры, позволяет своевременно производить поднастройку станка, что особенно важно в автоматизированном производстве: повышает качество изготовленных деталей.

С помощью статистического метода можно объективно оценить точность технологического процесса. Метод достаточно прост и универсален. Его с одинаковым успехом можно использовать для оценки результатов механической обработки резанием, сборки, контроля изготовления заготовок и других технологических действий. Он особенно удобен в тех случаях, когда неизвестны причины, вызывающие погрешности. Его можно использовать и для проверки результатов, которые получены аналитическими расчетами.

Вместе с тем необходимо учитывать и недостатки метода. Он не вскрывает сущность физических явлений, лежащих в основе ТП, не позволяет конкретно указывать пути повышения точности. Проведенные измерения при исследовании будут отражать уже сущест-вующий, а не проектируемый процесс.

Весьма результативно применять в практической работе несколько методов оценки точности, используя положительные стороны каждого из них.