3.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Леонарда Эйлера)

Целью вывода этих уравнений будет ответ на вопрос: какими по своей природе должны быть силы, под действием которых жидкость будет находиться в равновесии? Для вывода этих уравнений в жидкости, находящейся в покое, условно разместим систему координат и выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами δx, δy, δz (рис.3.9).

Рис.3.9

Применим принцип отвердевания. В этом случае при рассмотрении тела в покое можно применить законы механики твердого тела, т.е. если тело находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на соответствующие оси равна нулю:

ΣР_х = 0; ΣР_у = 0; ΣР_z = 0. (3.3)

На выделенный объем действует массовая сила, вызванная ускорением J, проекции которого на соответствующие оси будут равны X,Y,Z, и поверхностные силы δР_i.

Рассмотрим условие равновесия по оси Х. Допустим, на левую грань параллелепипеда действует элементарная сила δР₁, на правую δР₂:

ΣР_х = δР₁-δР₂+ХδМ=0. (3.4)

Ввиду малости размеров граней параллелепипеда будем считать, что давление на каждую из них будет одинаковым и каким-то средним, тогда

(3.5)

Выразим давления и через давление р в центре параллелепипеда.

Так как жидкость является сплошной средой (т.е. средой без пустот и переуплотнений), то изменение давления на каком-то элементарном перемещении является непрерывной функции координат:

, (3.6)

где - градиент гидростатического давления, т.е. частная производная от давления по оси Х.

Подставим выражение (3.6) в (3.5)6

Сократим на δх·δу·δz, т.е. на объем δW, и переходя к пределу:

. (3.7)

Аналогично рассуждая, но проектируя силы на оси Y и Z, получим еще два уравнения равновесия.

Общепринятая форма записи этих уравнений выглядит так:

(3.8)

Уравнения (3.8) представляют собой общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости, из которых следует, что при перемещении в жидкости давление зависит от плотности и ускорения.

Для лучшего понимания смысла полученных уравнений и практического пользования удобнее вместо системы уравнений (3.8) получить одно эквивалентное им уравнение. Для этого левую и правую части уравнений умножим соответственно на dx, dу, dz и сложим

, (3.9)

где - частные дифференциалы давления; они по соответствующим осям определяют изменение (увеличение или уменьшение) давления при переходе на расстояниеdx, dy, dz.

Так как гидростатическое давление есть функция только координат, выражение в скобках уравнения (3.9) представляет собой полный дифференциал гидростатического давления:

. (3.10)

в связи с этим получим одно дифференциальное уравнение для жидкости, находящейся в относительном покое:

. (3.11)

плотность жидкости ρ в уравнении (3.11) можно принять постоянной величиной, поэтому уравнение (3.11) может иметь смысл только в том случае, если его правая часть также является полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы существовала некая функция U = f(Х,Y,Z), частные производные которой по осям x,y,z были бы равны:

Такая функция называется потенциальной, или силовой, а силы, которые этой функцией выражаются – силами, имеющими потенциал.

Следовательно, жидкость находится в равновесии под действием сил, имеющих потенциал. Из механики известны многие силы, имеющие потенциал. Наибольшее значение из них имеют силы тяжести и силы инерции.