11.3.3. Физические основы процессов диффузии

Общее решетке уравнения диффузии в случае неограниченного тела

Решая уравнения (11.3.2), как отмечалось, для каждого кон­кретного случая можно определить диффузионный профиль в любой момент времени t. Применив метод разделения пере­менных (в общем случае для неограниченного тела), можно получить следующее выражение:

где f(x)—начальное распределение концентраций, равное N(x,0). С практической точки зрения интерес представляют два частных случая, характеризующие в какой-то мере две стадии диффузии, применяемые в технологии изготовления элементов ИС.

Первый случай представляет собой диффузию примеси от поверхности с постоянной концентрацией или диффузию из источника неограниченной мощности. Поверхностная концен­трация в этих условиях остается постоянной, а граничные условия при этом можно записать как

N(x, 0)=0, х≥0;

N(0, t)=N₀, t≥0. (11.3.5)

Решение (11.3.4) в этом случае принимает следующий вид:

где erfc означает дополнительную функцию ошибок. Распре­деление примесей в соответствии с уравнением (11.3.6) пока­зано на рис. 11.3.2.

Рассмотренный пример реализуется обычно при малых поверхностных концентрациях примеси no и больших глуби­нах диффузии.

Рассмотрим второй случай, который называется диффузией из ограниченного источника. В этом случае начальное распределение концентрации примеси в окрестности некоторой точки а имеет постоянное значение N₀, а за ее пределами обращается в нуль:

Общее решение уравнения (11.3.4) при этом примет следую­щий вид:

(11.3.8)

К

(11.3.9)

Распределение (11.3.9), представленное на рис. 11.3.2, обычно называют гауссовским распределением. Последнее решение в практике легирования имеет важное значение и соответ­ствует диффузии из очень тонкого легированного слоя, рас­положенного у самой поверхности образца, причем диффузия наружу от образца исключается наличием соответствующей защиты, например слоя оксида.

Рис.11.3.2. Распределение примесей при диффузии из постоянного (а) и ограниченного (б) источников

Следует отметить, что ряд задач диффузии решается при граничных условиях, отличных от вышеописанных. Рассмот­рим процесс диффузии, когда поток диффундирующей при­меси через поверхность образца отсутствует, т. е. граница является непроницаемой. Обратимся к формуле (11.3.1), описывающей перенос атомов и по существу являющейся фор­мулой для диффузионного потока. Отсутствие потока при­месей для всех t0 через поверхность x=0 означает равен­ство нулю выражения для потока

В

(11.3.11)

где  — константа, определяющая скорость прохождения час­тиц примеси через поверхность образца из его объема.

Функция ошибок

Втабл. 11.3.1 приведены некоторые частные случаи решения одномерного уравнения диффузии.

Рис. 11.3.3. График функции y=erfc(x)exp(x²)

Р

(11.3.12)

Д

(11.3.13)

Рассмотрим некоторые их общие свойства;

erf(0) = 0, erf() = l

Функция ошибок может быть аппроксимирована выражением erf(x)= 1-(a₁t+a₂t²+ a₃t³)e^-x+(x) (11.3.14)

Таблица 11.3.2

t=1/(1+px); |  (x) | < 2,5 * 10^-5

р = 0,47047; а₁=0,3480242; а₂= -0,0958798; a₃ = 0,7478556.

В табл. 11.3.2 приведены значения функции ошибок.