1.2. Показатели надежности неремонтируемых объектов

Такие объекты работают до первого отказа. Для оценки надежности таких объектов используют вероятностные характеристики случайной величины – наработки до отказа Т. Под наработкой понимают продолжительность или объем работы объекта, измеряемые в часах, километрах, циклах и т.д.

Полной характеристикой любой случайной величины является ее закон распределения, т.е. соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

К числу показателей надежности относятся:

функция надежности p(t);

плотность распределения наработки до отказа f(t);

интенсивность отказов (t).

Функцией надежностиназывают функцию, выражающую вероятность того, что Т – случайная наработка до отказа объектов – будет больше заданной наработки (0,t), отсчитываемой от начала эксплуатации, т.е.

p(t)=P{Tt}.

Перечислим некоторые очевидные свойства p(t):

1. p(0)=1, т.е. можно рассматривать безотказную работу лишь тех объектов, которые были работоспособны в момент включения;

2. p(t) является монотонно убывающей функцией заданной наработкиt;

3. p(t)0 приt+, т.е. любой объект со временем откажет.

Наряду с p(t) используется функция ненадежности

q(t)=1-p(t)=P{T<t}.

Она характеризует вероятность отказа объекта на интервале (0,t). Функция ненадежности является функцией распределения случайной величины Т; эта функция иногда обозначаетсяF(t).

На рис.1.2 приведены графики

одного из возможных функций

надежности P(t) и соответствующей

функции q(t).

Рис.1.2. Функции надежности p(t) и ненадежностиq(t) объекта.

Во многих задачах в качестве показателя надежности используется вероятность безотказной работы – вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникает отказа объекта. При этом обычно имеют в виду условную вероятность p(t₁,t₂) безотказной работы в течение наработки отt₁доt₂при условии, что приt₁объект был работоспособным. Эту условную вероятность можно определить по функции надежности.

Рассмотрим два интервала (0,t₁) и (t₁,t₂). Событие, состоящее в безотказной работе в течение интервала (0,t₂), является совмещением двух событий:

1. объект безотказно работал на интервале (0,t₁);

2. оставшись работоспособным к моменту t₁объект безотказно проработал на интервале (t₁,t₂).

Поэтому согласно правилу умножения вероятностей

p(t₂)=p(t₁)p(t₁,t₂),

следовательно,

p(t₁,t₂)=p(t₂)/p(t₁) (1.1)

Таким образом, условная вероятность безотказной работы на интервале (t₁,t₂) равна отношению значений функции надежности в начале и конце интервала.

Для малых интервалов времени значения p(t₁,t₂) будут близкими к единице. Поэтому наряду сp(t) используются и другие показатели надежности, например плотность распределения наработки до отказа

Плотность распределения наработки до отказаf(t) является дифференциальной формой закона распределения наработки до отказа. Плотностьf(t) является неотрицательной функцией причем

В соответствии с (1.2) функция надежности и функция ненадежности связаны с f(t) соотношениями

Величина f(t)dtхарактеризует вероятность отказа за интервал наработки (t,t+dt) объекта, взятого наугад из множества одинаковых объектов. При этом неизвестно, работоспособен ли этот объект к началу интервала (т.е. в моментt) или отказал ранее. Это не всегда удобно поэтому на практике чаще применяют интенсивность отказов(t) – условную плотность вероятности возникновения отказа неремонтируемого объекта, при условии, что до этой наработки отказ не возник.

Условную вероятность отказа объекта в течение наработки (t,t+dt) в предположении его безотказной работы до моментаtобычно выражают формулой

z=(t)dt,

отказавшие объекты к моменту tиз рассмотрения исключаются.

Причем

Решение уравнения (1.3) при начальном условии p(0)=1 дает для функции надежности формулу

При=constформула (1.4) существенно упрощается:

p(t)=exp(-t). (1.5)

В качестве показателей надежности неремонтируемых изделий применяют также числовые характеристики случайной наработки до отказа. Их обычно легче определить по эксперементальным данным, чем p(t),(t),f(t). Наиболее часто используют среднюю наработку до отказа (математическое ожидание наработки до отказа).

Согласно определению математического ожидания непрерывной неотрицательной случайной величины, выполняя некоторые преобразования получим среднюю наработку до отказа

При =const имеем:

Подставив в (1.5) значениеt=m_t=1/, получим, что при=constсреднюю наработку до отказа можно понимать как наработкуt=m_t, в течение которой объект остается работоспособным с вероятностьюp(m_t)=exp(-1)0.37

Значения m_tобычно вычисляются по эксперементальным

данным об отказах элементов в начальный период их эксплуатации.

На практике представляют интерес две условные средние

наработки неремонтируемых объектов:

1. средняя полезная наработка при условии, что при

достижении наработки t₁все оставшиеся работоспособными

объекты снимаются с эксплуатации;

2. средняя продолжительность предстоящей работы

при условии что объект безотказно работал на интервале

(0,t₁)

Причем m_t=+p(t₁).

При =const имеем: = m_t[1-exp(-t₁)];

=m_t=1/.

Это соотношение иллюстрирует рис.1.3