4.2.2 Теплопроводность

Основная зависимость теплопроводности (закон Фурье) Вт/м²:

q = –·grad t, (4.9)

т. е. вектор плотности теплового потока q пропорционален градиенту температуры; величина , Вт/(мK), согласующая размерности q и t, называется коэффициентом теплопроводности вещества. Знак минус показывает, что тепловой поток направлен в сторону уменьшения температуры. Уравнение теплопроводности (4.9) получено как эмпирическое обобщение. Коэффициент теплопроводности , относящийся к числу индивидуальных свойств вещества, нелинейно зависит от температуры и обычно задаётся в табличной форме. Значения  сильно различаются для газов, жидкостей и твёрдых тел: у воздуха ~0,023; у дерева ~0,3; у воды ~0,6; у льда ~2,2; у меди ~380.

Простейшим и одновременно характерным объектом анализа полей (распределений) температур является плоская стенка толщиной  (рисунок 4.7), у которой заданы значения температур на границах t_с1 и t_с2, а также коэффициент теплопроводности , который в диапазоне [t₁, t₂] можно считать постоянным.

Рисунок 4.7 – Распределение температуры в плоском теле:

t_с1 и t_с2 – температуры на поверхностях стенки 1 и 2;  – толщина стенки; q  – удельный тепловой поток через стенку

В одномерном случае уравнение (4.9) принимает такой вид:

. (4.10)

В стационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плотность теплового потока неизменна по толщине стенки, q = const. При этом предположении интегрирование дифференциального уравнения (4.10) с разделяющимися переменными (в соответствующих пределах) даёт

. (4.11)

Таким образом, тепловой поток через плоскую стенку прямо пропорционален перепаду температур на границах и обратно пропорционален её толщине. По этой формуле можно также определить эмпирическое значение , если суметь каким-либо образом измерить тепловой поток q и разность температур на поверхностях пластины.

Величина отношения /, (м²K)/Вт носит название термического сопротивления и обозначается R_с. Тогда выражение (4.11) примет вид

, (4.12)

аналогичный закону Ома в электротехнике, если силе тока поставить в соответствие тепловой поток, а разности потенциалов – температурный напор (t_с1 – t_с2).

В практических расчётах часто приходится иметь дело с многослойной стенкой (один из слоёв – та или иная тепловая изоляция). Формула (4.12) для неё остаётся в силе, если термическое сопротивление R_с подсчитывается как сумма термических сопротивлений каждого из слоёв, т. е.

.

Наряду с плоской стенкой (ограждение крытого вагона) в хладотранспорте встречаются цилиндрическая (например, у трубопровода или вагона-цистерны), сферическая (форма многих скоропортящихся грузов) и т. д. Соответствующие формулы для расчёта q в них можно найти в справочниках по теплопереносу.