Траектория "предельного цикла".

Рис. 3.6.

Резонансные кривые, полученные в результате решения уравнения (3.1).

Решение уравнения (3.1) будем искать в виде двухпараметри­ческого семейства. Воспользуемся идеей двухмасштабных разложе­ний.

Периодическое решение уравнения (3.1) разыскиваем в виде:

(3.2)

где X(τ, t°), Y(τ, t°) - функции, подлежащие определению. Подставим (3.2) в уравнение движения (3.1). Приравнивая отдельно нулю члены, содержащие множитель τ и не содержащие его, также исключая появившиеся в результате дифференцирования сингулярные члены, получим систему уравнений (3.3) в частных производных:

с краевыми условиями:

(3.4)

За счет краевых условий исключен сингулярный член в урав­нении (3.1). Воздействие импульсной нагрузки на систему прояв­ляется в уравнении (3.4) с параметром р.

Решение задачи (3.3)-(3.4) разыскиваем в виде ряда по сте­пеням ε. Порождающей является несвязная (относительно X, Y-компонент) линейная однородная задача, особенность решения которой состоит в том, что она содержит неопределенные функции "медлен­ного" времени Ao(t°), Do(t°). Функции Ao(t°) и Do(t°) определя­ются на следующем шаге асимптотической процедуры. В первом приближении имеем нелинейную задачу. Она содержит резонансные слагаемые, что приводит к появлению секулярных членов в реше­нии. Однако поскольку новый параметр τ ограничен (-1 ≤ τ ≤ 1) и является периодической функцией исходного времени t, эти "секулярные" члены сохраняем. Произвольным выбором функций "медлен­ного" времени среди оставшихся членов в решении распоряжаемся для удовлетворения краевым условиям. Тогда, уравнения для опре­деления функций Ao(t°) и Do(t°) имеют вид:

, (3.5)

где

Усреднение уравнения для определения функций "медленного" времени " нелинейны. Однако принятое упрощение по сравнению с исходным уравнением состоит в том, что оно описывает только "медленную" составляющую и не содержит сингулярных членов.

Окончательный результат решения уравнения (3.1) после двух последовательных процедур асимптотических приближений (с первым и вторым порядком по ε) имеет вид:

Z = Ao-Sin(a-τ)+ε*X₁+(D_o*Cos(a*τ)+ε*Y₁)+0(ε²)

В первом асимптотическом приближении получены условия су­ществования периодического режима в системе (3.1).

Периодические процессы соответствуют положительным вещест­венным корням уравнения резонансной кривой

(l-ρ)³-ρ*ξ²=p² (3.6).

Уравнение (3.6) дает зависимость между:

- безразмерной p - амплитудой внешнего импульсного воздействия в каждой точке касания каждого режущего зерна произво­дящей инструментальной поверхности с обрабатываемой поверх­ностью на частоте внешнего воздействия;

- безразмерным параметром ρ, отражающим наибольшую ампли­туду периодических колебаний упругой обрабатывающей системы в момент динамического равновесия между фактическим нагруженном ритмичным полем обрабатываемой поверхности и фактической реак­цией этой поверхности в виде послойного дискретного (порционно­го) съема припуска с множеством единичных пластически деформи­рованных "стружек" в каждой дискретной порции;

- параметром ξ, характеризующим относительную "расстройку" между собственной частотой автоколебаний упругой обрабатывающей системы в установившемся режиме микрошлифования и частотой внешней импульсной нагрузки ритмичного поля на обрабатываемую поверхность.

Кроме того, для обеспечения периодических процессов необ­ходимо выполнить условия, при которых с одной стороны будет иметь место вещественный положительный корень в уравнении (3.6) относительно р, а, с другой стороны, если будут выполнены усло­вия:

(один вещественный корень относительно ρ в уравнении (3.6));

(три вещественных корня относительно ρ в уравнении (3.6)

На границе между областями

(два вещественных положительных корня относительно ρ в уравнении (3.6), один из которых двухкратный).

При значении параметров р и ξ из области существования одного вещественного положительного корня ρ в уравнении (3.6). например, р=0,39 и ξ=0,105, то при р=0,39 устанавливается пре­дельный цикл (периодическое решение) (рис.3.6).

Выполненные численные расчеты по уравнению (3.1) показали совпадение аналитического и численного решения. В том случае. если параметры р и ξ, принадлежат области, где не существует ве­щественного положительного корня р уравнения (3.6), например. Р=0,8 и ξ=1.5, то предельный цикл не устанавливается.

Если нелинейность упругой обрабатывающей системы (3.1) не мала, то воздействие внешней периодической силы может привести к установлению очень сложных режимов колебаний. Такие колебания могут быть исследованы только численными методами.

Подученные аналитические зависимости описывают отдельно движение упругой обрабатывающей системы как в статике (для оп­ределения её размерной настройки), так и в динамике (для опре­деления величины шероховатости Rz на окончательно обработанной поверхности).

Для определения в каждой конкретной упругой обрабатывающей системе фактических (как статических, так и динамических) па­раметров её движения используют тестовые методы идентификации этих параметров, прежде всего идентифицируют фактическую вели­чину постоянной времени переходных процессов резания Т_п, интег­рально отражающего фактическое состояние её как динамических характеристик (амплитуду λ и частоту f_c динамической составляю­щей упругих деформаций), так и статических её характеристик (статическую составляющую Д упругих деформаций) в виде соотно­шения

(сек) (3.8)

Используют уравнение (3.8) для определения в каждой конк­ретной упругой обрабатывающей системе параметра fc, а затем оп­ределяют фактическую величину "расстройки" ξ, из соотношения:

(5.9) и (3.10)

где f - частота внешней импульсной нагрузки, с^-1;

m - количество радиальных, выступов на производящей инструментальной поверхности шлифовального круга;

n - количество оборотов шлифовального круга за одну минуту.

Затем из совместного решения уравнения (3.6). условий (3.7), уравнений (3.9) и (3.10) для каждой упругой обрабатываю­щей системы определяют фактические величины параметров ρ_ф и p_ф. Полученные результаты сопоставляют с заданными выходными пара­метрами (по высоте микронеровностей R_z) на окончательно обрабо­танной поверхности и, при необходимости, корректируют параметр р_ф для приведения ρ_ф к заданному значению R_z. Пример одного из таких сопоставлений при одновременном функционировании двух уп­ругих обрабатывающих систем (при обработке натуральных алмазов в различных (одной - при обработке в "мягком", а другой - при обработке в "твердом") направлениях представлена в таблице 3.1.

Анализ этой таблицы позволяет сделать следующие выводы:

1. При обработке в "твердом" и в “мягком" направлениях возможна одновременная обработка одним и тем же шлифовальным кругом, гладкая производящая инструментальная поверхность кото­рого не имеет радиальных выступов. В этом случае при составле­нии управляющей программы, взаимоувязывающей координатные пере­мещения по осям X, Y, Z в функции угла поворота производящей инструментальной поверхности отсутствующие реальные радиальные выступы заменяют "виртуальными", а микроподачу в каждой точке касания каждого режущего зерна с обрабатываемой поверхностью на всей длине продольного перемещения (между точками реверса) осу­ществляют только от цифрового пьезоэлектрического привода. При­чем величина каждого такого дискретного перемещения на глубину резания соответственно для изделий "мягкого" и "твердого" нап­равлений составляет 0,00027 мкм и 0,0007 мкм соответственно (при этом R_Z = 0,05 мкм).

2. При обработке и в "твердом" и в "мягком" направлениях возможна одновременная обработка одним и тем же шлифовальным кругом, имеющем на производящей инструментальной поверхности 30000 реальных радиальных выступов с высотой каждого из них. равной 0,022 мкм. В этом случае через каждые 101156 импульсных воздействий указанными радиальными выступами на изделие с "мяг­ким" направлением и, соответственно, через каждые 157867 им­пульсных воздействий той же производящей инструментальной по­верхности на изделие с "твердым" направлением осуществляют от цифрового пьезоэлектрического привода дискретная врезная подача на глубину резания составляет 0,03 мкм (при этом Rz = 0,03 мкм).

Таблица 3.1. Параметры упругой системы при обработке алмазов.

Таблица 3.1. (продолжение)