4.2. Оценка безотказности программ по наработке

Наработку между очередными отказами — случайную величину можно представить в виде суммы двух случайных величин:

(4.1)

Последовательно применяя (4.1) ко всем периодам наработки между отказами, получаем:

(4.2)

Случайная величина Т_n – наработка до возникновенияn–го отказа программы равна

(4.3)

Введем следующие допущения:

1) все случайные величины независимы и имеют одинаковые математические ожидания и средние квадратические отклонения ;

2) случайная величина пренебрежимо мала по сравнению с суммой

Основанием для второго допущения могут служить следующие соображения. В самый начальный период эксплуатации программы ошибки возникают очень часто, т. е. время мало. Сумма (5-24) быстро растет с уве­личением n, и доля быстро падает. Будем считать .

В соответствии со вторым допущением из (4.2) имеем:

(4.4)

(4.5)

При одинаковых наработка между (п- 1)-м и n-м отказами — случайная величина Т⁽ⁿ⁾ — имеет матема­тическое ожидание

(4.6)

и среднее квадратическое отклонение

(4.7)

Для случайной величины Т_п математическое ожида­ние

(4.8)

и среднее квадратическое отклонение

(4.9)

Чтобы вычислить значения , и , необходимо по данным об отказах программы в течение периода на­блюдения t_H найти статистические оценки числовых ха­рактеристик случайной разности

(4.10)

(4.11)

где n_{н -} число отказов программы за наработку (0, t_н).

Учитывая, что при t> t_н число отказов n_н >1, из (4.8) и (4.9) имеем:

(4.10)

(4.11)

Поскольку случайные величины T⁽ⁿ⁾ и T_n согласно (4.4) и (4.5) равны суммам многих случайных вели­чин T⁽ⁿ⁾ и T_n можно считать распределенными нормаль­но c математическими ожиданиями и дисперсиями, опре­деленными по (4.6) — (4.9), (4.10) и (4.11). Так как наработка положительна, на практике используется усе­ченное на интервале (0, ∞) нормальное распределение. Обычно нормирующий множитель с≈1.

При п>n_H плотность распределения наработки между очередными (п-1)-м и п-м отказами

где τ отсчитывается с момента последнего, (п—1)-го отказа.

Соответствующая функция распределения наработки между отказами

,

где - табулированная функция.

При вычислении вероятности безотказной работы программы удобно использовать условную функцию надежности (вероятность того, что случайная наработка до отказа будет больше заданной наработки, отсчитывае­мой с момента последнего (п-1)-го отказа).

(4.12)

В соответствии с (4.12) вероятность безотказной работы в течение заданной наработки после (п-1) – го отказа

(4.13)

При сделанных выше допущениях отказы программы образуют редеющий случайный поток. Ведущая функция потока, т. е. среднее число отказов, происшедших за ин­тервал наработки (0, t), при t>t_н

(4.14)

где F_n(t) — функция распределения наработки до появ­ления n-го отказа.

Параметр потока отказов программ (вычисляется по наработке)

(4.15)

где

— плотность распределения наработки до появления п-го отказа.

Из (4-15) имеем выражение для параметра потока отказов программы при t>t_н

(4.16)

График функции ω(t) является слегка волнистой кри­вой с убывающими максимумами при значениях

, гдеп= n_{н ,}п_н+1, . . .

Ввиду сложности выражений (4.14) и (4.16) целесо­образно аппроксимировать их более простыми приближенными формулами. Практически имеет смысл приме­нить метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом аппроксимирующая функция [для ω(t) целесообразно взять Aexp(-vt)] наилучшим образом согласуется на интервале (t_H, t₁) с функцией, определяемой выражением (5-39), при выполнении условия

(4.17)

Приравняв нулю частные производные интеграла I₁ по A и v, получим систему уравнений для определения этих числовых характеристик. Аналогично можно посту­пить при аппроксимации Q(t) функцией 1-Вехр(-γi).