3.6. Динамическая модель бездефектного стружкообразования.

Для осуществления экспериментальных исследований динамики процесса обработки натуральных алмазов только в "твердом" нап­равлении использовалась управляющая программа, представляющая собой многократно зацикленный алгоритм, согласно которому пер­вые три врезные подачи в конце каждого одного продольного про­хода составляли по 0,25 мкм. следующие четыре аналогичные врез­ные подачи составляли по 0,2 мкм, затем пять врезных подач сос­тавляли по 0,16 мкм, далее семь врезных подач составляли по 0,1 мкм, а затем четырнадцать врезных подач по 0,05 мкм. Каждый цикл заканчивался отскоком по оси Z на величину 1,7 мкм. Далее весь цикл повторялся снова. Контроль за ходом обработки (также как и в момент первоначального касания) постоянно осуществлялся по осциллографу от пьезоэлектрического датчика силы резания, встроенного в торец каждого шпинделя многоместной сменной кас­сеты.

После совершения 700 указанных циклов (23100 продольных проходов стола) был удален суммарный припуск равный 1.4 мм (рис.3.4).

В каждом цикле по осциллограмме определяли величину ампли­туды и частоту динамической составляющей силы резания. В про­цессе анализа осциллограмм возникает случайная погрешность, ко­торая является погрешностью при определении амплитуды и частоты колебаний силы резания. Появление ошибки в ту или иную сторону от некоторого среднего значения равновероятно, поэтому полага­ем, что закон распределения является нормальным. Поэтому вероятная величина амплитуды и частоты является средним арифмети­ческим. Погрешность ошибки составила не более 5%.

Анализ осциллограмм (рис.3.4), характеризующих динамику состояния каждой конкретной упругой обрабатывающей системы в момент выхода её на размерно-управляемый режим микрошлифования и идентифицирующих динамику состояния параметров каждой такой системы в установившемся режиме динамического равновесия между, с одной стороны, условиями фактического нагружения ритмичным полем (в виде внешних импульсных воздействий микроконцентрато­ров касательных напряжений) и. с другой стороны, фактической реакцией обрабатываемого материала к равномерно периодическому и послойному удалению припуска с его поверхности (в виде от­дельных дискретных порций с множеством единичных пластически деформированных "стружек" в каждой такой порции), проявляемой периодически равномерной величиной динамической составляющей упругих деформаций в обрабатывающей системе, показывает, что движение каждой такой (конкретной) упругой обрабатывающей сис­темы в динамике под действием периодической импульсной нагрузки подчинено закону, который наиболее полно может быть описан не­линейным дифференциальным уравнением второго порядка Ван-дер-Поля, напоминающим уравнение для свободных колебаний системы с одной степенью свободы (но с нелинейным членом, опи­сывающим затухание). В безразмерном виде поведение таких упру­гих обрабатывающих систем в динамике описывается уравнением;

(3.1)

0 ≤ ε ≤ 1.

Параметр ξ характеризует относительную “расстройку” между собс­твенной частотой системы (определяемой временем "жизни" каждой единичной пластически деформированной стружки от момента её за рождения до момента её удаления с обрабатываемой поверхности, то есть определяемой частотой "стружкообразования" и частотой внешней импульсной нагрузки, вызванной воздействием на микро­масштабном уровне режущих зерен производящей инструментальной поверхности на обрабатываемую поверхность кристалла. Периоди­ческая импульсная нагрузка выражена через вторую обобщенную производную функции τ(ξ), определенной на периоде следующим об­разом:

В уравнении (3.1) введено обозначение для четверти периода внешнего воздействия а = π/2, так что частота основного тока внешнего импульсного воздействия предполагается равной единице.

Параметр р обозначает безразмерную амплитуду внешнего им­пульсного воздействия в каждой точке касания каждого режущего зерна с обрабатываемой поверхностью.

Параметр τ является безразмерной осциллирующей переменной, выступающей в роди "быстрого" времени.

В роди "медленного" времени выступает безразмерный пара­метр t° = ε*τ.

Безразмерный параметр ε обобщенно характеризует параметры упругой обрабатывающей системы, определяющих статическую сос­тавляющую упругих деформаций этой системы.

Так как выбранные условия нагружения соответствуют тому, что z < 1. то величина ε *(z² - 1) отрицательна, что соответс­твует отрицательному затуханию в системе, описываемой уравнени­ем (3.1). Амплитуда z при этом со временем возрастает. Таким образом, заданное системе малое начальное перемещение или скорость вызывают возрастание амплитуды колебаний до тех пор, пока не установится периодическое движение о постоянной амплитудой ρ. Наоборот из этого уравнения также следует, что если задано большое начальное перемещение (z > 1) или скорость, то амплиту­да колебаний будет уменьшаться до тех пор, пока не установится такое же периодическое движение с постоянной безразмерной амп­литудой ρ.

Необходимость решения уравнения (3.1) обусловлена опреде­лением взаимосвязей между всеми безразмерными параметрами упру­гой обрабатывающей системы и, в том числе, выбором регулируемо­го параметра g в каждой точке касания каждого режущего зерна обрабатываемой поверхностью, при которых указанная безразмерная величина амплитуды ρ не превышала величины, соответствующей за­данной величину микронеровностей R_Z на окончательно обработан­ной поверхности.

Как правило для решения задач по механическим колебаниям широко применяют электронные моделирующие устройства. Для реше­ния уравнений Ван-дер-Поля (при условии равенства нулю правой части уравнения (3.1)) построена вычислительная цепь в таком электронном моделирующем устройстве с помощью которой проанали­зирован фазовый "портрет" этого уравнения s фазовой плоскости. в которой перемещение z и скорость откладывают по осям декартовой системы координат. Этот фазовый "портрет" показан на рис. 3.5.

Однако поведение исследуемой системы под воздействием пе­риодической импульсной нагрузки с применением электронных моде­лирующих устройств осуществить не представляется возможным. В связи с этим в данной работе предложен и разработан новый ана­литический метод исследования автоколебательных нелинейных систем, основанный на специальном преобразовании, содержащим пару, негладких функций (пилообразный Sin и прямоугольный Cos). Осо­бенности поведения системы рассмотрены в условиях внешней пери­одической импульсной нагрузки.

Действие мгновенных импульсов на механическую систему обычно описывается одним из двух способов.

Первый - подчинение переменных дополнительным условиям в окрестностях точек локализации импульсов. Это приводит к необ­ходимости рассматривать вместо одной системы целой серии систем (в промежутках между импульсами).

Другой путь состоит во введении в уравнения сингулярных функций, описывающих импульсы, и рассмотрении уравнений как ин­тегральных тождеств в рамках теории распределений. А это требу­ет дополнительных обоснований в нелинейном случае. В дан­ной работе описан метод негладкого преобразования аргумента, представляющий собой синтез упомянутых выше двух подходов. Ме­тод позволяет, с одной стороны, исключить сингулярные члены в уравнениях, а с другой, путем анализа краевой задачи на стан­дартном отрезке, подучить решения в виде единого аналитического выражения, на всем пространственном интервале.

Рис. 3.5.

Фазовые траектории для уравнения Ван-дер-Поля при различных значениях параметра ε:

а) ε =0; б) ε =0,2; в) ε =0,5; г) ε =1;